3.4 Kurvkonstruktioner

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion 32 Kurvkonstruktioner

Fortfarande förutsätts att alla funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) vi behandlar här är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.

Globala maxima och minima

I detta avsnitt kommer vi att använda en funktions derivata som ett verktyg för att få information om själva funktionen, närmare bestämt om funktionens lokala maxima och minima.

Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden lokalt dvs i sin närmaste omgivning, se bilden.      Med maxima och minima menas i detta avsnitt alltid lokala maxima/minima. Därför utelämnas ordet lokalt i detta avsnitt.      Båda tillsammans heter extrema eller extremvärden. På bilden till vänster har vi två extremvärden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden).      De punkter på \( \, x\)-axeln för vilka extremvärden antas heter extrempunkter. På bilden finns två extrempunkter: \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \, \) (OBS! \( \, x\)).      Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \).      När vi i fortsättningen pratar om punkten \( {\color{Red} {x = a}} \, \) menar vi alltid punkten med \( {\color{Red} x}\)-koordinaten a.      Gemensamt för alla extrempunkter är att derivatan i dessa punkter är \( \, 0 \), därför att:      Tangenten till funktionens graf i en extrempunkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Följaktligen:      Genom att bilda derivatan, sätta den till \( \, 0 \, \) och beräkna de \( \, x \, \) för vilka derivatan blir \( \, 0 \, \), kan vi få reda på funktionens extrempunkter.      Sedan gäller det att skilja mellan minimi- och en maximipunkter bland extrempunkterna.

Det finns två alternativa metoder att göra det, den ena använder andraderivatan, den andra genomför ett teckenstudium. Vi ställer upp regler och löser exempel för båda metoderna.