1.3 Lösning 8a

För att faktorisera polynomet \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \) beräknar vi dess nollställen:

\[ 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 \]

För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform:

\[\begin{align} 9\,x^2 - 6\,x + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 9 \\ x^2-{6\over 9}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ \end{align}\]

Normalformen ger Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = {2\over 3} \\ x_1 \cdot x_2 & = {1\over 9} \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = {1\over 3}\,\) och \( x_2 = {1\over 3}\,\) eftersom:

\[ \begin{align} {1\over 3} + {1\over 3} & = {2\over 3} \\ {1\over 3}\cdot {1\over 3} & = {1\over 9} \end{align}\]

Därför har normalformen \( \; x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} \; \) faktoriseringen \( \; \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \).

Därmed har det ursprungliga polynomet \( \; 9\,x^2 - 6\,x + 1 \; \) följande faktorisering:

\[ 9 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = 3\cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot 3 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = \]

\[ = (3\,x-1)\cdot (3\,x-1) = (3\,x-1)^2 \]

Kontroll:

\[ (3\,x-1)^2 = 9\,x^2 - 6\,x + 1 \]

Det sista enligt kvadreringsregeln.