2.4 Derivatans definition

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt >>

Lektion 15 Derivatans definition I

Lektion 16 Derivatans definition II

Derivatan i en punkt = Derivatan som ett tal

Exempel Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten (Exempel 3 i avsnitt 2.2).

Oljans utströmning beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \qquad\qquad {\rm med\;grafen:} \]

där \( \quad\; x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \quad \)

som ett uttryck i \( \, h > 0 \, \) (något positivt tal).

b) Beräkna oljans momentana utströmningshastighet i punkten \( \, x = 0 \) genom att

i uttrycket från a) låta \( \, h \, \) gå mot \( \, 0 \).

Lösning:

a) Den allmänna definitionen av genomsnittlig förändringshastighet är:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]

I exemplet Oljetank är \( \,x_1 = 0 \). Då har vi:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \]

För \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) får vi \( \, f\,(h) \, = \, 4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \, \) och \( \, f\,(0) \, = \, 9\,000 \).

Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \):

\[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {{\color{Red} h}\,(4\,h - 380) \over {\color{Red} h}} \,=\, 4\,h - 380 \]

b) Nu låter vi i uttrycket \( 4\,h - 380 \) för den genomsnittliga utströmningshastigheten \( \, h\, \) gå mot \( 0 \)

för att få oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0\, \). Dvs vi beräknar gränsvärdet:

\[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 \]

\( \quad -\,380\, \) är oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0 \, \). Dvs vid denna tidpunkt sjunker oljan med exakt \( \, 380\, \) liter per minut.

Ett annat ord för den momentana utströmningshastigheten är derivatan:

Funktionen \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \; \) derivatan \( \; -\,380 \; \).

Man skriver: \( \; f\,{\color{Red} '}(0) \,=\, -\,380 \; \) och läser: "\( \, f \) prim av \( \, 0 \, \) är \( \; -\,380 \; \)" .

\( f\,{\color{Red} '}(0) \) är derivatan av \( \, f\,(x) \, \) i punkten \( \, x = 0 \; \) och är talet \( \; -\,380 \; \) .

Sammanfattning:

Vi får derivatan av \( \, f(x) \, \) i punkten \( \, x = a\, \) genom att gå två steg:

1. Att ställa upp den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \displaystyle{{\color{Red} {\Delta y \over \Delta x}}} \, \) för \( \, f(x) \, \) i intervallet \( \, a \,\leq\, x \,\leq\, h \, \) som ett uttryck i \( \, h \, \).

2. Att beräkna detta uttrycks gränsvärde för \( \, h \to 0 \, \): \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad {\color{Red} {\boxed{ \displaystyle{ \lim_{h \to 0} \, \frac{\Delta y}{\Delta x} \; = \; f\,'(a) } } } } \, \)

Ett enklare exempel

I de två exemplen ovan beräknade vi derivatan i en punkt vars resultat ett tal. Nu ska vi ange derivatan som en ny funktion genom att betrakta punkten \( \, a \, \) inte längre som en konstant utan som en variabel \( \, x \).

Man tillämpar definitionen av derivatan i en punkt på varenda punkt \( \, a \, \) på \( \, x\)-axeln. Tänker man sig att alla dessa derivatvärden är tilldelade sina respektive \( \, x\)-värden, bildar denna tilldelning en ny funktion som är den ursprungliga funktionens derivata, fast inte längre som ett tal utan som ett uttryck i \( \, x \).

Derivatan som en ny funktion

Ex.: \( \qquad y \, = \, f(x) \, = \, 5\,x^2 \qquad \) som ovan, men: \( \qquad\quad f\,'({\color{Red} x}) \, = \, {\rm ?} \)

Exemplet ovan visar att derivatan av en andragradsfunktion (parabel) är en linjär funktion (rät linje).

Derivatans allmänna definition

Derivatan av funktionen \( \, y = f\,(x) \, \) är \( \, \displaystyle f\,{\color{Red} '}(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \, \), där

\( {\color{Red} '} \; \) är symbolen för derivatan. \( \;\, f\,{\color{Red} '}(x) \; \) är en ny funktion och läses: "\( f \) prim av \( \, x \, \)" .

Som man ser är uttrycket i limes, funktionens genomsnittliga förändringshastighet \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) i intervallet mellan \( \, x \, \) och \( \, h \).

Exempel Oljetank (utvidgat)

Utströmningen av olja genom ett hål i oljetankens botten beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

a) Ställ upp funktionens genomsnittliga förändringshastighet \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) som ett uttryck i \( \, x \, \) och \( \, h \).

b) Ange derivatan av \( \, f\,(x) \, \) som en ny funktion av \( \, x \, \) genom att i \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) låta \( \, h \, \) gå mot \( \, 0 \).

\( \;\;\, \) Rita grafen till derivatans funktion

Lösning:

a) Vi ställer upp de deluttryck som ingår i \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, = \, {f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \, \) och förenklar dem:

\[ \begin{array}{lcl} f(x + h) & = & 4\,(x+h)^2 - 380\,(x+h) + 9\,000 = 4\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 380\,x - 380\,h + 9\,000 = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 \\ f(x + h) - f(x) & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - (4\,x^2 - 380\,x + 9\,000) = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - 4\,x^2 + 380\,x - 9\,000 \;\;\, =\\ & = & 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,h \, = \, h\,(8\,x + 4\,h - 380) \\ \displaystyle \frac{f(x + h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{h\,(8\,x + 4\,h - 380)}{h} \, = \, 8\,x + 4\,h - 380 \end{array}\]

b) Nu beräknar vi gränsvärdet:

\[ f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 \]

Vi kan sammanfatta:

Funktionen \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) har derivatan

\( \qquad\qquad\; f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \; \)

Grafen till derivatans funktion visas till höger: en rät linje, se sats nedan.

Fil:Oljetank derivataa.jpg

Nu kan vi verifiera det i Exempel Oljetank beräknade värdet av \( f\,(x)\):s derivata i punkten \( \, x = 0 \) genom att sätta in \( \, x = 0 \) i derivatans funktion ovan:

\[ f\,'\,(0) \,=\, 8 \cdot 0 - 380 \,=\, 0 - 380 \,=\, -\,380 \]

Vid tiden \( x = 0 \) sjönk oljan med \( 380 \) liter/min \(-\) den högsta utströmningshastigheten, när oljan hade mest volym och utövade det största trycket på hålet.

I avsnitt 2.2, Exempel 3 d) hade vi fått \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga hastigheten i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \), vilket är ett närmevärde för derivatan i \( x = 0 \).

Detta närmevärde som nu visar sig vara ganska bra, hade blivit ännu precisare om vi hade valt t.ex. intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \) eller \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,001 \) osv.

Det exakta värdet \( -\,380 \, \) får man om man i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \) låter \( \, h \to 0 \).

Dessutom får vi genom grafen ovan för tredje gången en bekräftelse på följande sats som kommer att bevisas generellt senare:

Sats:

Derivatan av en 2:a gradsfunktion är en linjär funktion.

Det första exemplet på denna sats fanns i (den genomsnittliga) hastighetsfunktionens graf till Yulias hopp från 10 m-torn, se Lösning till Aktiviteten (punkt 6).

Det andra exemplet var när vi i Derivatan som en ny funktion algebraiskt bestämde derivatan \( \, y\,' = \, 10\,x \, \) av funktionen \( \, y \, = \, 5\,x^2 \, \).

I exemplet Oljetank är oljans utströmningshastighet derivatans fysikaliska tolkning. Men derivatan har även en geometrisk tolkning: