Anteckningar
+++ Bevis med p-q formeln:
- 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0\,\) har enligt pq-formeln lösningarna:
- \[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\]
Om vi adderar lösningarna \( \, x_1\, \) och \( \, x_2\, \) får vi:
- \[x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right)\]
Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform \( \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 \]
Därav följer: \( \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
Bevis med faktorisering och jämförelse av koefficienter:</big>
Lösningarna \( \, x_1\, \) och \( \, x_2\, \) till 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, \) är nollställena till 2:gradspolynomet:
- \[ x^2 + p\,x + q \]
Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform \( \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 \]
Därav följer: \( \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
Vietas formler kan generaliseras ytterligare till polynom av högre grad än 2. Den franske matematikern François Viète var en av de första som såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
</big> +++ \( \Updownarrow \)
2 c)
a b
a\( \quad \)b
:
Kommentar:
\( \boxed{\bf\wedge} \) eller \( \boxed{x^y} \) symboler för operationen upphöjt till.
\( \,\lg \, \) och \(10 \, \)^ tar ut varandra
\( \displaystyle { {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a } \)
\( \pmb{\gets} \qquad \pmb{\to} \)
Ex.: \( \pmb{\to} \)
OBS! \( \qquad \) Gammal version! \( \;\; \) Se version 2 \( \qquad\qquad \pmb{\uparrow} \)
polynom
\( 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \)
\( {\color{Red} {x y}} \, \)
\( \displaystyle {x^2 + 1 \over 3\,x - 6} \)
- \[\begin{array}{rclcl} n \, + \, (n + 1) & = & 185 & & \\ n \, + \, n + 1 & = & 185 & & \\ 2\,n \, + \, 1 & = & 185 & \qquad | & - \, 1 \\ 2\,n & = & 184 & \qquad | & / \,\, 2 \\ n & = & 92 & & \end{array}\]
Definition:
Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka uttrycket är definierat.
.border-div { border:1px solid black; display:inline-block !important; margin-left: 50px !important; padding:25px 25px 25px 25px; -webkit-border-radius: 10px !important; -moz-border-radius: 5px; border-radius: 5px; }
\( a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 {\color{White} x} , \quad {\rm där } \quad n\,= {\rm {\color{Red} {positivt\;heltal}}\;eller\;{\color{Red} 0}\,.} \)
.border-div2 { border:1px solid black; display:inline-block !important; margin-left: 50px !important; padding:10px 20px 10px 20px; border-radius: 15px; }
\( a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 {\color{White} x} , \quad {\rm där } \quad n\,= {\rm {\color{Red} {positivt\;heltal}}\;eller\;{\color{Red} 0}\,.} \)
div style="border:1px solid black; display:inline-block !important; margin-left: 10px !important; padding:10px 20px 10px 20px; border-radius: 15px;">...</div
\(\begin{array}{rcl} x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 4 \end{array}\)
div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> +++ </div
div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;padding:10px 20px 10px 20px;"> +++ </div
div style="border:1px solid black;display:inline-table;"> ... </div
text text
- text text
Funktionsbegreppet:
- En funktion \( y = f\,(x) \) är en föreskrift (formel, graf eller tabell) som tilldelar varje x-värde ENDAST ett y-värde.
Sats (Vietas formler):
- Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
\( \underline{10\,\,{\rm kr}}\)
Agenda 2014:
| 100 | 200 | 300 |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 |
| 1 | 5 | 9 |
| 2 | 6 | 10 |
| 3 | 7 | 11 |
| 4 | 8 | 12 |
Klicka här för Diagnosprov 1
Du kan ladda ner det genom att spara som en PDF-fil efter du öppnat filen.
1) Skriv lösningen i 1.2 Övningar till Faktorisering av polynom Övning_13
2) Rita grafen i 1.3 Övningar till Rationell uttryck Övning_11 d)
3) Hitta fler Internetlänkar till
4) Skriv Svar, Lösning & Kommentar till Snöre-uppgiften på Main Page
5) Skriv repetitionsuppgifter till 1.5 Repetitionsuppgifter till 1.1 - 1.4
\( x\, \) \( \left(1 + {1 \over x}\right)^x \) \( 1\,000 \) \( {\color{Red} {2,71}}6923932\cdots \) \( 10\,000 \) \( {\color{Red} {2,718}}145927\cdots \) \( 100\,000 \) \( {\color{Red} {2,7182}}68237\cdots \) \( 1000\,000 \) \( {\color{Red} {2,71828}}0469\cdots \) \( 10\,000\,000 \) \( {\color{Red} {2,718281}}693\cdots \) \( 100\,000\,000 \) \( {\color{Red} {2,7182818}}15\cdots \) \( 1000\,000\,000 \) \( {\color{Red} {2,71828182}}7\cdots \) \( 10\,000\,000\,000 \) \( {\color{Red} {2,718281828}}\cdots \) \( \infty \) \( {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \)
Alternativt:
- Svar 1a | Lösning 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c | Svar 1d | Lösning 1d
