1.2 Lösning 1b
a) Maries bana följer en parabel eftersom den beskrivs av 2:a gradspolynomfunktionen:
- \[ y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \]
Eftersom den kvadratiska termen har negativ koefficient är grafen en parabel som är öppen nedåt och har därmed ett maximum. Parabler är alltid symmetriska kring symmetrilinjen som går genom maximipunkten. Så för hitta maximipunkten måste vi ställa upp symmetrilinjens ekvation. Det in sin tur kräver att vi skriver 2:a gradspolynomekvationen ovan i normalform, dvs så att koefficienten till den kvadratiska termen blir \( \, 1 \). Därför:
- \[\begin{align} - 5\,x^2 + 4\,x + 10 & = 0 & | \;\; / (-5) \\ x^2 - 0,8\,x - 2 & = 0 \end{align}\]
Detta är normalformen med \( p = -0,8\, \). Formeln för symmetrilinjens ekvation är:
- \[ x = -{p \over 2} \]
Därmed blir symmetrilinjens ekvation:
- \[ x = -{-0,8 \over 2} = 0,4 \]
Maximipunkten har alltså koordinaterna:
- \[\begin{align} x & = 0,4 \\ y & = (- 5) \cdot 0,4\,^2 + 4 \cdot 0,4 + 10 = 10,8 \end{align}\]
Maries maximala höjd blir \( \underline{10,8\,\,{\rm m}}\).
