1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

Innehåll

1 Talet e
2 Exponentialfunktionen med basen e
3 Den naturliga logaritmen
4 Internetlänkar

Talet e

En av matematikens mest kända konstanter är talet e, även kallat Eulers tal efter den schweiziske matematikern Leonard Euler som på 1700-talet presenterade formler för detta märkliga tal. Märkligt, därför att e inte ett rationellt tal, dvs inte kan skrivas som ett bråk (kvot mellan två heltal), precis som \( \pi,\, \sqrt{2},\, \cdots \). Sådana tal kallas irrationella. Anledningen till att de inte kan skrivas som kvoter mellan två heltal är att de har oändligt många decimaler utan något som helst mönster som upprepas (period). De första 5 miljoner olika decimaler av talet e kan man beskåda på Internet. En av de mest uppmärksammade förekomsterna av talet e är att det figurerar i en av matematikens vackraste formlerna, nämligen sambandet mellan heltalet \( 1\, \) och de irrationella talen \( e,\;\pi \) och den s.k. imaginära eneheten \( i\, \) som är symbolen för det (för oss) oberäknebara "talet" \( \sqrt{-1} \):

\[ e^{\,2\,\pi\,i} \; = \; 1 \]

Men hur kan vi själva beräkna talet e? Det enklaste sättet är att ta fram en räknare, leta efter funktionen \( e^x\, \) och mata in \( e\,\)^\((1)\, \) dvs beräkna \( e^1\, \) för att få ett närmevärde för talet e. Om man nöjer sig med detta är det o.k. Men om man vill veta lite närmare hur detta närmevärde kommer till, kan man använda en av Eulers formler:

\[ \left(1 + {1 \over x}\right)^x \to e \] när \( x \to \infty \)

Detta betyder att uttrycket ovan närmar sig talet e allt mer ju större värden \( x\, \) antar. Dvs uttrycket går mot e när \( x\, \) går mot oändligheten (\( \infty \)). Tabellen nedan visar denna process:

\( x\, \)	\( \left(1 + {1 \over x}\right)^x \)
\( 1\,000 \)	\( {\color{Red} 2,71}6923932\cdots \)
\( 10\,000 \)	\( {\color{Red} 2,718}145927\cdots \)
\( 100\,000 \)	\( {\color{Red} 2,7182}68237\cdots \)
\( 1000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,71828}0469\cdots \)
\( 10\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,718281}693\cdots \)
\( 100\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,7182818}15\cdots \)
\( 1000\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,71828182}7\cdots \)
\( 10\,000\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,718281828}\cdots \)

De korrekta siffrorna är markerade med rött. Som man ser är konvergensen mycket långsam. Det finns andra, mer avancerade formler som konvergerar snabbare. Så, i fortsättningen när vi räknar med talet e nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

\[ e \; = \; 2,718281828\cdots \]