Kapitel 5 Trigonometri
| << Förra kapitel | Kap 5 Trigonometri | Formelsamling Trigonometri | Planering Matte 3c | Diagnos kap 4-5 Integr. & Trigon. |
Detta kapitels övningar finns inte på webben (pga tidsbrist). Därför:
Läs igenom genomgångarna här, men använd för övningarna boken Matematik 5000.
Utdrag ur planeringen:
5.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar \( \qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 208
Tangens för \( \, v \, < \, 90^\circ \)
Flera exempel på tangens
|
 |
Hämtar...
Sinus och Cosinus för \( \, v \, < \, 90^\circ \)
5.2 Exakta trigonometriska värden / Enhetscirkeln \( \;\; \) Övningar: Boken, sid 209 / 210
Två speciella vinklar: \( \, 45^\circ \, \) och \( \, 60^\circ \, \)
Pythagoras satsen används på halva kvadraten med sidan \( \, 1 \, \) för att få diagonalen \( \, \sqrt{2} \). Sedan bestäms \( \, \sin 45^\circ \, \) och \( \, \tan 45^\circ \):
På liknande sätt används Pythagoras på halva liksidiga triangeln med sidan \( \, 2 \, \) för att få höjden \( \, \sqrt{3} \). Sedan bestäms \( \, \sin 60^\circ \) och \( \, \cos 60^\circ \).
"Exakt" betyder: Gå inte över till decimaltal, dvs:
- Bibehåll bråk med endast heltal i täljare och nämnare,
- Bibehåll rötter som inte ger heltal.
En konsekvens blir att inte ens rötter ska stå kvar i bråkens nämnare. Ta upp dem genom förlängning med \( \, \sqrt{{\color{White} {\cdots}}} \), t.ex.:
- \[ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \, = \, \frac{1 \, \cdot \, {\color{Red} {\sqrt{2}}}}{\sqrt{2} \cdot {\color{Red} {\sqrt{2}}}} \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, = \, \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \]
Ytterligare exakta trigonometriska värden
Andra geometriska satser ger följande exakta värden:
Enhetscirkeln
Cirkel \( \, = \, \) Mängden av alla punkter som har samma avstånd (radien \( \, r \, \)) från en punkt (medelpunkten \( \, M \, \)).
Cirkelns ekvation:
Enhetscirkeln är cirkeln med radien \( \, r \, = \, 1 \, \) och medelpunkten \( \, M \, = \, O \, \) (origo).
Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:
 |
\( \qquad\qquad\quad \) |
\(\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\
y & = & \sin v
\end{array}\)
|
I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, \) och \( \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y \), precis som ovan.
Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).
5.3 Godtyckliga trianglar \( \qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 215
Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet: \( \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ \)
Exempel:
- \[ \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} \]
- \[ \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} \]
Förklaring med enhetscirkeln:
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.
 |
Ekvationer
med Sin & Cos:
|
 |
Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar
|
En gång till
Sin & Cos för \( v \geq 90^\circ \) i trianglar:
|
|
En cosinusekvation har i intervallet \( \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, \) endast en lösning.
5.4 Triangelsatserna \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 218
Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.
Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:
Areasatsen
Givet: \( \quad \) Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns area.
|
 Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar): En triangels area är produkten av två sidor
och den mellanliggande vinkelns sinus, delad med \( \, 2 \, \) (SVS-struktur). |
Det omvända problemet:
Givet: \( \quad \) Arean och två sidor av en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Den mellanliggande vinkeln \( \, v \, \).
 |
Varför två lösningar?
|
Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:
Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.
5.5 Sinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 220 / 224-225
Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida eller två andra sidor.
 |
I en triangel är kvoten mellan
vinklarnas sinus och deras motstående sidor lika stor. |
Exempel på sinussatsen (två lösningar)
Givet: \( \quad \) Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.
 |
 |
Varför två lösningar?
|
Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:
Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).
5.6 Cosinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 229-230
Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.
 |
Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med
en \( \cos\)-term som involverar högerledets två sidor och den mellanliggande vinkeln. |
Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 \). Då försvinner \( \cos\)-termen i cosinussatsen.
När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.
När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.
Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen
 |
Varför två lösningar?
|
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.
5.7 Användning av trigonometri \( \qquad\qquad\;\; \) Övningar: Boken, sid 232-233
 |
Svar
|
|
 |
|
 |
Copyright © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
