1.6 Lösning 7

Saldot efter 2 år \( = 40\,000 \cdot (1,08)^2 = 46\,656 \)

Det andra belopp som sattes in \( = {3\over 5} \cdot 40\,000 = {3 \cdot 40\,000 \over 5} = 3 \cdot 8\,000 = 24\,000 \)

\( \qquad x\, \) = Antal år efter den andra insättningen

\( \qquad y\, \) = Aktuellt belopp på kontot

Modellen:

\[ y = (46\,656 + 24\,000) \cdot (1,08)^x \]

\[ y = 70\,656 \cdot (1,08)^x \]

Ekvationen:

\[ 100\,000 = 70\,656 \cdot (1,08)^x \]

Lösningen:

\(\begin{align} 70\,656 \cdot (1,08)^x & = 100\,000 & &\;| \; /\,70\,656 \\ (1,08)\,^x & = 1,4153 & &: \text{Logaritmera båda leden} \\ \lg\,((1,08)\,^x) & = \lg\,1,4153 & &: \text{Använd 3:e logaritmlagen på VL} \\ x \cdot \lg(1,08) & = \lg (1,4153) \\ x & = {\lg (1,4153) \over \lg(1,08)} \\ x & = 4,5133 \end{align}\)

För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:

\[ 0,5133 \cdot 12 = 6,1594 \]

Detta blir avrundat \( 6\, \) månader. Därför:

\( 4\, \) år och \( 6\, \) månader efter den andra insättningen kommer saldot att bli \( 100\,000 \) kr.

\( 6\, \) år och \( 6\, \) månader efter den första insättningen kommer saldot att bli \( 100\,000 \) kr.