2.5 Deriveringsregler

Innehåll

1 Derivatan av en konstant
2 Derivatan av en linjär funktion
3 Derivatan av en potens
4 Derivatan av ett polynom
5 Derivatan av 1 / x
6 Derivatan av Roten ur x
7 Deriveringstabell
8 Internetlänkar

I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och bevisa en rad regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man använda de bevisna reglerna i fortsättningen. I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en tabell. Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i hela C-kursen.

Derivatan av en konstant

Påstående:

En konstants derivata är 0, dvs:

Om \( f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) = 0 \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]

på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 \]

Detta gäller därför att både \( f(x+h) = c\, \) och \( f(x) = c\, \) för alla \( x\, \). Dvs funktionen \( f(x)\, \):s värde är alltid konstanten \( c\, \) oavsett vilket \( x\, \) man använder i \( f(x)\, \). Funktionsvärdet är \( c\, \) för vilket \( x\, \) som helst, även om \( x\, \) är ett uttryck.

Vad som skulle bevisas (V.s.b.).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 \]

Derivatan av en linjär funktion

Påstående:

En linjär funktions derivata är konstant, dvs:

Om \( f(x) \; = \; k\;x + m \quad {\rm och} \quad k = {\rm const., } \; m = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]

på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 \]

Detta gäller därför att både \( f(x+h) = c\, \) och \( f(x) = c\, \) för alla \( x\, \). Dvs funktionen \( f(x)\, \):s värde är alltid konstanten \( c\, \) oavsett vilket x man använder i \( f(x)\, \). Funktionsvärdet är \( c\, \) för vilket \( x\, \) som helst, även om \( x\, \) är ett uttryck.

Vad som skulle bevisas (V.s.b.).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 \]

Derivatan av en potens

a

Derivatan av ett polynom

a

Derivatan av 1 / x

a

Derivatan av Roten ur x

a

Deriveringstabell

Internetlänkar

http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar