2.6 Derivatan av exponentialfunktioner

Innehåll

1 Derivatan av den naturliga exponentialfunktionen
2 Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen
3 Uppdaterad tabell över deriveringsregler
4 Internetlänkar

Derivatan av den naturliga exponentialfunktionen

I detta avsnitt kommer vi att ställa upp deriveringsregeln för den s.k. naturliga exponentialfunktionen, dvs \( y = e\,^x \) med basen \( e = 2,718281828\cdots \) (Eulers tal).

För att kunna göra det gör vi ett försök med derivatans definition att ställa upp en deriveringsregel för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \). Försöket kommer att misslyckas, men det kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Frågeställningen lyder:

Kan basen i den allmänna exponentialfunktionen väljas så att derivatan av \( y = a\,^x \) blir så enkel som möjligt, nämligen \( y\,' = a\,^x \)?

Man vänder alltså på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel och frågar efter samt beräknar denna bas så att den uppfyller deriveringsregeln.

Det kommer att visa sig att svaret på frågan är: Ja, denna bas kan bestämmas till Eulers tal \( e\, \).

I matematikens historia har frågeställningen motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \). På 1700-talet bevisade han att den efterfrågade basen var just \( e\, \). Vi försöker i detta avsnitt att följa hans bevis.

Fil:ExpDeriv1 40c.jpg

Fil:ExpDeriv2 50.jpg

Fil:ExpDeriv3 50.jpg

Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen

Från att ha ställt upp deriveringsregeln för den naturliga exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):

Fil:ExpDeriv4 50a.jpg

Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för den naturliga exponentialfunktionen.

Uppdaterad tabell över deriveringsregler

I följande tabell är \( c,\,k,\,m,\,n,\,a \) konstanter, medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler.

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( k\cdot x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
\( {1 \over x} \)	\( - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( e\,^x \)	\( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \)	\( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( c\cdot e\,^{k\,x} \)	\( c\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \)	\( a\,^x \cdot \ln a \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte D-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler och fler generella satser.