1.2 Faktorisering av polynom

Teori

Övningar

Lektion 5 Faktorisering av polynom I

Lektion 6 Faktorisering av polynom II

Polynom i faktorform

Du kommer väl ihåg att

\[ a \cdot b \]

är en produkt vars ingredienser \(a\) och \(b\) kallas faktorer. Så länge \(a\) och \(b\) är variabler dvs platshållare för tal är uttrycket ovan en faktorform för tal.

T.ex. är produkten \( 3 \cdot 4 \) en faktorform för eller en faktorisering av talet 12:

\[ 12 \, = \, 3 \cdot 4 \]

Analog till faktorisering av heltal kan även polynom faktoriseras.

Faktorisering av polynom innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Till vänster om likhetstecknet har vi ett polynom som en summa av termer. Till höger står samma polynom som en produkt av faktorer dvs i faktorform. Detta polynom i faktorform är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet är av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) i sina beståndsdelar \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \).

Matematiskt inser man likheten ovan genom att utveckla högerledet:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen. Du kommer väl ihåg att sådana x för vilka polynomets värde är 0, kallas för polynomets nollställen. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) till 0 och får följande ekvation:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 \]

Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal x för vilka polynomets värde är 0. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen \((x-3) (x-4) \) har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna. Det är nollproduktmetoden som gör detta möjligt. Den visar nämligen att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \): För att produkten \( (x-3) (x-4) \) ska vara lika med 0 måste antingen den första faktorn \( (x-3) \) eller den andra faktorn \( (x-4) \) vara lika med 0. För att \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) ska vara lika med 0 måste \( x \) antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \). Å andra sidan måste pga likheten mellan polynom och dess faktorform 3 och 4 även vara polynomets nollställen dvs lösningar till ekvationen ovan. Men vad gör man om man inte än har faktorformen?

Faktorisering av 2:a gradspolynom

Resonemanget ovan ger oss nu en metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet. För att faktorisera polynomet\( x^2 - 7\,x + 12 \) behöver vi bara beräkna dess nollställen, säg \( x_1\, \) och \( x_2\, \), och sedan skriva upp faktorformen \((x-x_1)\cdot (x-x_2) \). Låt oss genomföra det i vårt exempel:

\[\begin{align} x^2 - 7\,x + 12 & = 0 \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = 4 \\ x_2 & = 3 \\ \end{align}\]

Därför har polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) faktorformen \( (x-3) \cdot (x-4) \). Vi kommer att lära oss en effektivare metod för lösning av 2:a gradsekvationer och därmed för faktorisering av 2:gradspolynom, när vi lärt oss ett enkelt samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen (Vietas formler).

Det som vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:

Sats (Faktorisering med 2 nollställen):

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in 2:a gradsekvationens lösningsformel (pq-formeln) för \( x_1\, \) och \( x_2\, \) och utveckla produkten på högerledet. En jämförelse av koefficienter kommer att resultera i likhet med vänsterledet. Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2 som vi inte behandlar här.

Istället ska vi undersöka ett enkelt, men intressant samband mellan 2:a gradspolynomets koefficienter \( p\, \) och \( q\, \) och dess nollställen \( x_1\, \) och \( x_2\, \), vilket ger dig möjligheten att roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp den 2:a gradsekvation vars lösningar just är 3 och 4.