1.2 Fördjupning till Faktorisering av Polynom

Repetition Faktorisering

Teori

Övningar

Fördjupning

Internetlänkar

Det allmänna fallet (icke-normalform)

Alla våra hittills behandlade polynom var i normalform. Den s.k. ledande koefficienten, dvs den kvadratiska termens koefficient eller talet framför \(x^2\,\), var alltid \(1\,\). Det behöver inte alltid vara så.

Exempel 1

Låt oss t.ex. faktorisera följande polynom med ledande koefficienten \(3\,\):

\[ 3\,x^2 - 6\,x - 9 \]

Lösningen består i att återföra problemet till den kända typen i normalform genom att bryta ut den ledande koefficienten:

\[ 3\,x^2 - 6\,x - 9 = 3\,(x^2 - 2\,x - 3) \]

Vi faktoriserar först det nya polynomet \( x^2 - 2\,x - 3 \) som är i normalform enligt:

\[ x^2 - 2\,x - 3 = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

Efter att ha löst detta nya problem kan vi gå tillbaka till det ursprungliga problemet för att få faktoriseringen av \( 3\,x^2 - 6\,x - 9 \).

För att få fram \( x_1\,\) och \( x_2\,\) som ger oss faktoriseringen av \( x^2 - 2\,x - 3 \) kan vi som vanligt använda Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-2) = 2 \\ x_1 \cdot x_2 & = -3 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 3\,\) och \( x_2 = -1\,\) eftersom \( 3 + (-1) = 2\,\) och \( 3 \cdot (-1) = -3 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 2\,x - 3 \) faktoriseras så här:

\[ x^2 - 2\,x - 3 = (x - 3) \cdot (x + 1) \]

Går vi tillbaka och sätter in denna lösning i det ursprungliga problemets ansats får vi det ursprungliga polynomets faktorisering:

\[ 3\,x^2 - 6\,x - 9 = 3\,(x^2 - 2\,x - 3) = 3\,(x-3) \cdot (x+1) \]

Den ovan beskrivna metoden fungerar alltid när 2:a gradspolynomet har ett eller två nollställen. Har det däremot inget nollställe alls finns det inte heller någon faktorisering.

Exempel 2

Vad gör man om den ledande koefficienten "inte går att bryta ut" eftersom den inte delar de andra koefficienterna jämnt? Man gör det ändå och går över till tal i bråkform. Det finns nämligen ingen begränsning varken för polynomets nollställen eller koefficienter, när det gäller taltypen: De kan vara heltal, som var fallet hittills i våra exempel, men även bråk- eller decimaltal. Låt oss t.ex. faktorisera följande polynom med en ledande koefficient som inte delar de andra koefficienterna jämnt:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 \]

Vi bryter ut 7 och skriver det nya polynomets koefficienter i bråkform:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = 7\,(x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7}) = 7\,(x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att få fram \( x_1\,\) och \( x_2\,\) använder vi Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = {5 \over 7} \\ x_1 \cdot x_2 & = - {2 \over 7} \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 1\,\) och \( x_2 = -{2 \over 7}\,\) eftersom \( 1 - {2 \over 7} = {5 \over 7} \) och \( 1 \cdot {-2 \over 7} = {-2 \over 7} \).

Så får vi det nya polynomets faktorisering:

\[ x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7} = (x - 1) \cdot (x + {2 \over 7}) \]

Går vi tillbaka och sätter in detta i det ursprungliga problemets ansats får vi det ursprungliga polynomets faktorisering:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = 7\,(x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7}) = 7\,(x - 1) \cdot (x + {2 \over 7}) \]

Vill man i slutet bli av med bråktal kan man multiplicera in 7 i den andra parentesen och skriva faktoriseringen så här:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = (x - 1) \cdot (7\,x + 2) \]

Faktorisering av 3:e och högre gradspolynom

Faktorisering av 2:a gradspolynom är alltid möjlig för oss eftersom vi kan lösa 2:a gradsekvationer. I de fall man lyckas återföra 3:e eller högre gradsekvationer till 2:a gradsekvationer är det även möjligt att faktorisera polynom av högre grad än 2. Ett sådant fall föreligger om man antingen känner till eller t.ex. med hjälp av grafen kan få fram åtminstone en lösning till en 3:e gradsekvation. Låt oss genomföra detta för följande exempel:

Exempel 3

Faktorisera 3:e gradspolynomet

\[ P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 \]

Lösning: För att få fram något av polynomets nollställen ritar vi

grafen till funktionen \( y = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 \)

Grafen visar att polynomet har tre nollställen av vilka ett är ganska tydligt på bilden och kan avläsas till \( x = -1\, \), medan de andra två är mindre tydliga. För att avgöra om detta nollställe är exakt gör vi en prövning genom att sätta in \( x = -1\, \) i polynomet\[ P(-1) = (-1)^3 - 6\,\cdot\,(-1)^2 + 5\,\cdot\,(-1) + 12 = -1 - 6\,\cdot\,1 - 5 + 12 = -1 -6 -5 +12 = -12 +12 = 0 \]

Prövningen visar att \( x = -1\, \) är ett exakt nollställe till \( P(x)\, \). Härav kan vi nu dra slutsatsen att de två andra nollställena måste uppfylla följande ekvation:

\[ P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = Q(x) \cdot (x+1) = 0 \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom som vi inte känner till än.

Denna slutsats baseras på en generell matematisk sats, algebrans fundamentalsats som enkelt uttryckt säger att ett polynom av grad n har n nollställen.

Vi kan med nollproduktmetoden resonera så här: För att produkten \( Q(x) \cdot (x+1)\, \) ska vara lika med 0 måste antingen \( Q(x)\, \) eller \( (x+1)\, \) vara lika med \( 0\, \). Vi vet redan att \( (x+1)\, \) är \( 0\, \) för \( x = -1\, \) som är \( P(x)\, \):s ena nollställe. Alltså måste \( P(x)\, \):s andra två nollställen finnas i \( Q(x)\, \). Med andra ord de andra två nollställen måste vara det 2:a gradspolynomet \( Q(x)\, \):s nollställen.

Kan vi bestämma \( Q(x)\, \), beräkna dess nollställen samt ställa upp dess faktorform, har vi faktoriserat även det 3:e gradspolynomet \( P(x)\, \). Vi har ju redan hittat ett nollställe och ställt upp en ansats till faktoriseringen av \( P(x)\, \) i form av ekvationen ovan.

Vi bearbetar nu vidare denna ansats genom att införa i den för \( Q(x)\, \) den allmänna formen för ett 2:a gradspolynom:

\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

där a, b och c är koefficienter som vi måste bestämma. Sätter vi in denna form i ansasten ovan får vi:

\[ x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = (a\,x^2 + b\,x + c) \cdot (x+1) \]

Vi vet från förra avsnitt att två polynom är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer. För att kunna genomföra denna jämförelse av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:

\[ x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = a\,x^3 + (b+a)\,x^2 + (c+b)\,x + c \]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{align} a & = 1 \\ b + a & = -6 \\ c + b & = 5 \\ c & = 12 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 1 \) i den andra och \( c = 12 \) i den tredje ekvationen får vi i båda fall b = -7. Därmed har vi bestämt polynomet \(Q(x)\)\[ Q(x) = x^2 - 7\,x + 12 \]

I början av detta avsnitt (Faktorisering av 2:a gradspolynom) hade vi faktoriserat det här polynomet till:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Inför vi nu detta resultat i vår ansats i början får vi faktoriseringen för P(x):

\[ P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = Q(x) \cdot (x+1) = (x^2 - 7\,x + 12) \cdot (x+1) = (x-3)\,\cdot\,(x-4)\,\cdot\,(x+1) \]

Den ovan beskrivna metoden kan i princip även användas för faktorisering av polynom av högre grad än 3. Anledningen till det är algebrans fundamentalsats som vi redan nämnde tidigare och som lite förenklad lyder så här:

Algebrans fundamentalsats

Sats:

Ett polynom av grad n har exakt n nollställen \( x_1, \, x_2, \,\quad\ldots\, x_n \)och kan faktoriseras så här:

\[ a_n \, x^n \,+\, a_{n-1} \, x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \, x \,+\, a_0\;=\;a_n \cdot\, (x-x_1) \,\cdot\, (x-x_2) \,\cdot\quad\ldots\quad \cdot\, (x-x_n) \]

---

Anmärkningar:

• Egentligen utgör endast den första delen (polynom av grad n har exakt n nollställen) algebrans fundamentalsats. Den andra delen om faktorisering är en följd av den.
• Antalet n nollställen är räknade med multiplicitet, dvs dubbla rötter är räknade två gånger, tredubbla tre gånger osv.
• Den fullständiga faktoriseringen i linjära faktorer \( (x-x_i)\, \) är endast möjlig i mängden av s.k. komplexa tal, en taltyp som inte behandlas i C-kursen. För oss som räknar med reella tal (största taltyp vi känner till) betyder der att vissa polynom endast kan faktoriseras till linjära och kvadratiska faktorer.

Exempel 1

\( P(x) = x^5 - 5\,x^4 + 17\,x^3 - 13\,x^2 = x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x^2 - 4\,x + 13) \)

Polynomet P(x) har en dubbelrot x = 0, en enkel rot x = 1 och två s.k. komplexa rötter som ger upphov till den kvadratiska faktor som står sist. För oss räcker det att ange faktoriseringen i forman ovan. Vi kan få fram den med de metoder vi lärt oss i detta avsnitt: Den dubbla roten x = 0 får vi genom att bryta ut \( x^2 \), roten x = 1 kan vi t.ex. få via grafen samt en prövning. Den kvadratiska faktorns koefficienter kan vi beräkna med hjälp av jämförelse av koefficienter. Att det inte går att få fram en fullständig faktorisering i linjära faktorer beror på att den kvadratiska faktorn saknar reella rötter.

Exempel 2

Att vi ändå kan ha praktisk nytta av algebrans fundamentalsats visar följande exempel: I övning 6 i avsnittet 1.1 Ekvationer hade vi (förhoppningsvis) löst 4:e gradsekvationen

\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)

och fått lösningarna

\( x_1 = 5, \qquad x_2 = -5, \qquad x_3 = 2 \quad {\rm och} \quad x_4 = -2 \)

Vi kan skriva ekvationen som en polynomekvation

\( P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 \)

Pga kännedomen om ekvationens lösningar som är identiska med polynomets nollställen, kan vi enligt algebrans fundamentalsats faktorisera 4:e gradspolynomet P(x) så här\[ P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 = (x-5) \cdot (x+5) \cdot (x-2) \cdot (x+2) \]

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.