2.3 Gränsvärde
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Gränsvärde av en funktion
Exempel 1
Följande funktion samt graf är given\[ y = f(x) = {10 \over x - 2}\,,\quad x\;\text{reellt tal} \qquad\qquad {\color{White} x} \] Fil:Ex 1 Gränsvärde 70.jpg
Funktionen är definierad för alla \( x \neq 2\, \). För \( x = 2\, \) blir nämnaren av funktionsuttrycket \( 0\, \). Därför visar grafen en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Därmed är funktionen kontinuerlig i hela sin definitionsmängd:
Låt oss undersöka hur den beter sig när \( x \, \) växer.
. Dvs vi ersätter i definitionen \( a \, \) med \( 0 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Enligt definitionen borde då:
- \[ {1 \over x} \to f(0) \] när \( x \to 0 \).
Men \( {1 \over x} \) kan inte gå mot \( f(0)\, \) därför att \( f(0)\, \) dvs \( {1 \over 0} \) inte är definierad. Därme är definitionens krav inte uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).
b) Låt oss nu undersöka om funktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 2}\, \). Vi ersätter i definitionen \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Enligt definitionen borde då:
- \[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \] när \( x \to 2 \).
Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln, från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = {1 \over 2} \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).
På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Det kommer att visa sig att:
- Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för alla \( x \neq 0\, \).
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande.
