2.3 Gränsvärde
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Gränsvärde av en funktion
Exempel 1
Följande funktion samt graf är given:
\[ y = f(x) = {10 \over x - 2} \qquad\qquad {\color{White} x} \] Fil:Ex 1 Gränsvärde 70.jpg
För \( x = 2\, \) är \( f(x)\, \) inte definierad eftersom funktionsuttryckets nämnare blir \( 0\, \) när \( x = 2\, \). Följaktligen visar grafen i \( x = 2\, \) en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Annars är \( f(x)\, \) kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla \( x \neq 2\, \).
Vi vill undersöka hur \( f(x)\, \) beter sig när \( x \, \) växer, dvs i ett område där funktionen är kontinuerlig.
Som grafen visar blir \( f(x)\, \) allt mindre ju större \( x \, \) blir. Kurvan närmar sig \( 0\, \) när \( x \, \) växer utan att bli \( 0\, \) någon gång. Kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \). Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli \( 0\, \). Ett sätt att beskriva detta beteende är:
\[ {10 \over x - 2} \to 0 \] när \( x \to \infty \qquad {\color{White} x} \) vilket läses så här\[ {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \] går mot \( 0\, \) när \( \,x \) går mot \( \infty \) .
Det strikt matematiska sättet att uttrycka samma sak är:
\[ \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \qquad\qquad\; {\color{White} x} \] vilket läses så här\[ {\color{White} x} \quad\; {\color{White} x} \] Limes av \( {10 \over x - 2} \) då \( \,x \) går mot \( \infty \) är \( 0\, \), vilket betyder:
- Gränsvärdet för \( {10 \over x - 2} \) då \( \,x \) går mot \( \infty \) är \( 0\, \) .
Förkortningen lim står för det latinska ordet Limes som betyder gräns. Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.
Ett ganska liknande beteende visar \( f(x)\, \) när \( x \, \) går mot "stora" negativa värden, dvs när \( x \to -\,\infty \) som också är ett område där funktionen är kontinuerlig. Detta karakteriseras med Limes så här:
\[ \lim_{x \to -\,\infty}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \]
Skillnaden är bara att nu \( f(x)\, \) närmar sig \( 0 \, \) från negativt håll, dvs \( {10 \over x - 2} \to 0 \) när \( x \to -\,\infty \).
Eftersom resultatet är identiskt från både positivt och negativt håll säger man:
- Gränsvärdet för \( {10 \over x - 2} \) då \( \,x \) går mot \( \infty \) existerar och är \( {\color{Red} 0}\, \) , kort\[ {\color{White} x} \quad {\color{Red} \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x - 2}\,=\,0} \qquad\qquad\; {\color{White} x} \] .
Gränsvärde saknas
Vi stannar hos exemplet ovan, men vill undersöka nu hur \( f(x)\, \) beter sig när \( \, x = 2 \) , dvs i en punkt där funktionen inte är definierad och där grafen visar en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Hur kan man karakterisera detta beteende med hjälp av limes?
Som grafen visar - och beräkningar med funktionsuttrycket bekräftar - går \( f(x)\, \) mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:
\[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \] när \( x \to 2^{+} \qquad {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \) när \( x \to 2^{-} \) .
där \( x \to 2^{+} \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger och \( x \to 2^{-} \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster.
Eftersom det finns två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster säger man:
- Gränsvärdet för \( {10 \over x - 2} \) då \( \,x \) går mot \( \, 2 \) existerar inte , kort: gränsvärde saknas .
Att ett matematiskt objekt - i det här fallet limes - inte kan anta två olika värden är uppenbart.
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. \( +\,\infty \) för ett visst \( \, x\)-värde både från höger och vänster, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes av denna funktion existerar och är \( +\,\infty \). Anledningen är att \( \infty \) inte är något tal eller värde och därmed inte heller kan vara något gränsvärde. Även i det här fallet skulle det vara korrekt att säga: Gränsvärde saknas.
Ändå beskriver man ofta av bekvämlighetsskäl beteendet av \( f(x)\, \) för \( \, x = 2 \) så här:
\[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \] när \( x \to 2^{+} \qquad {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \) när \( x \to 2^{-} \) .
Dvs man ersätter helt enkelt beskrivningen med pilar som vi använde ovan med att skriva det med limes.
