1.6 Absolutbelopp

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

Diagnosprov 1 kap 1

Diagnosprov 2 kap 1

Lösningar till diagnosprov 1 kap 1 -->\, </math>

Lektion 9 Absolutbelopp

Exempel 1 Åldersskillnad

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för policyn att åldersskillnaden mellan två partner ska vara mindre än \( 6 \, \) år.

För att beräkna åldersskillnaden i sina webbformulär använder de formeln:

\[ \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, \]

När några kunder skickar in sina uppgifter får man följande utskrifter:

\[ 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 \]

\[ 30 \quad - \quad 23 \quad = \quad 7 \]

\[ 22 \quad - \quad 26 \quad = \quad -4 \]

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten blir konfunderad över den sista utskriften och undrar om åldersskillnad kan vara negativ. Faktiskt är det meningslöst att ange åldersskillnaden med ett negativt tal. Åldersskillnad är alltid positiv. Lovisa som har lärt sig om absolutbelopp på mattelektionen föreslår att ändra formeln till:

\[ | \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, | \]

Efter denna ändring blir utskrifterna så här:

\[ | \, 25 \quad - \quad 20 \, | \quad = \quad 5 \]

\[ | \, 30 \quad - \quad 23 \, | \quad = \quad 7 \]

\[ | \, 22 \quad - \quad 26 \, | \quad = \quad 4 \]

Nu känns det ok. Ändringen i den sista utskriften beror på följande:

\[ | \, 22 \quad - \quad 26 \, | \quad = \quad { \color{Red} | \, - 4 \, | \quad = \quad 4 } \]

De två raka strecken \( {\color{White} x} {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} {\color{White} x} \) som man liknande parenteser sätter kring ett tal, heter absolutbelopp. De gör om ett negativt tal till ett positivt tal och låter ett positivt tal (eller \( 0\, \)) vara oförändrat. I exemplet ovan tar absolutbeloppet bort minustecknet från \( -4\, \) och returnerar \( 4\, \).

Man kan också säga att absolutbeloppet betyder talets positiva värde. Därför blir \( { \color{Red} | \, - 4 \, | = 4 } \). Men även \( | \, 4 \, | = 4 \). Här några fler exempel på absolutbelopp:

\[ | \, - 7 \, | = 7 \qquad\quad | \, - 0,5 \, | = 0,5 \qquad\quad \left| \, - {2\over 3} \, \right| = {2\over 3} \qquad\quad \left| \, - \sqrt{5} \, \right| = \sqrt{5} \]

\[ | \; 23 \; | = 23 \qquad\quad | \, 7,25 \, | = 7,25 \qquad\quad\; \left| \, {13\over 4} \, \right| = {13\over 4} \qquad\quad \left| \, \sqrt{3} \, \right| = \sqrt{3} \qquad\qquad \left| \, 0 \, \right| = 0 \]

Som man ser gör absolutbeloppet ingenting när talet är positivt eller \( 0\, \). Men om talet är negativt tar absolutbeloppet bort bara minustecknet och returnerar talets positiva värde.

Därför lämpar sig absolutbeloppet för att modellera storheter som av sin natur är positiva, som t.ex. åldersskillnaden. Ett annat exempel är avståndet.

Exempel 2 Avstånd mellan två tal

Vad är avståndet mellan \( 2 \, \) och \( 5 \, \)? Tydligen \( 3 \, \). Man drar av \( 2 \, \) från \( 5 \, \) för att få detta resultat:

\[ 5 - 2 = 3\, \]

Vad är då avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \)? Gör man samma sak för att beräkna detta avstånd, nämligen att dra av \( -2 \, \) från \( -5 \, \) så får man:

\[ -5 - (-2) = -5 + 2 = -3\, \]

Men vi vet att avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) är \( 3 \, \) och inte \( -3 \, \). Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Därför måste vi modifiera vår metod att beräkna avståndet mellan två tal. Vi definierar avståndet mellan två tal så här:

Avståndet mellan talen \( a \, \) och \( b \) är \( | \, a - b \, | \, \)

Här drar man fortfarande av talen från varandra, men lägger till absolutbeloppet kring hela operationen för att garantera att resultatet blir positivt.

Om vi använder denna definition på avstånd för att beräkna avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) blir resultatet korrekt:

\[ | -5 - (-2) \, | \, = \, | -5 + 2 \, | \, = \, | -3 \, | \, = \, 3 \]

Det roliga med den nya definitionen är att det är irrelevant i vilken ordning vi sätter in talen i definitionen. Det gäller nämligen generellt:

\[ {\color{White} x} \qquad\, | \, a - b \, | \, = \, | \, b - a \, | \]

Kastar vi om talens ordning när vi beräknar avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) blir det samma resultat:

\[ | -2 - (-5) \, | \, = \, | -2 + 5 \, | \, = \, | \, 3 \, | \, = \, 3 \]

Om vi i den nya definitionen för avstånd \( | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \) för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:

\[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \qquad{\color{White} x} \, \]

Om vi kastar om ordningen blir det samma resultat:

\[ | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 \]

\( 5 \, \) är alltså talet \( \, -5\):s avstånd från \( 0 \, \). Detta gäller för alla tal, vilket ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet:

Absolutbeloppet av ett tal är talets avstånd från \( {\color{Red} 0}\, \).

Sammanfattningsvis har vi hittills kommit fram till följande tolkningar av absolutbeloppet:

Absolutbeloppet

är talets positiva värde.

är talets avstånd från \( {\color{Red} 0}\, \) .

gör om ett negativt tal till ett positivt tal och låter ett positivt tal vara oförändrat.

Dessutom:

\( {\color{Red} | \, a - b \, | } \) =  talen \( {\color{Red} a} \, \) och \( {\color{Red} b}\, \):s avstånd från varandra.

Den sista tolkningen kan man uppfatta som en avståndsformel på tallinjen.

Alla dessa tolkningar är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet absolutbelopp. Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

Allmän definition & graf

Absolutbeloppet \( {\color{White} x} | \, x \, | {\color{White} x} \) av ett tal \( x\, \) definieras genom \( {\color{White} x} \quad | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases} \)

Grafen till funktionen \( {\color{White} x} y = | \, x \, | {\color{White} x} \) ser ut så här:

---

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad för alla \( x \, \). Den är även kontinuerlig för alla \( x \, \). I förra avsnittets övn 8 hade vi redan stiftat bekantskap med den utan att nämna dess namn.

Exempel 1:

Vad är \( | \, 7 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 7 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( x = 7\, \).

Svar: \( {\color{White} x} | \, 7 \, | = 7 \).

Exempel 2:

Vad är \( | \, - 5 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = -5 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( -x = -(-5)\, \) vilket ger \( 5\, \).

Svar: \( {\color{White} x} | \, - 5 \, | = 5 \).

Exempel 3:

Vad är \( | \, 0 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 0 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( x = 0\, \).

Svar: \( {\color{White} x} | \, 0 \, | = 0 \).

Exempel 4:

Vad är \( | \, a + 2 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom vi inte känner till \( \, a\):s värde och därför inte vet om \( \, a + 2 \) blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

Fall 1: \( {\color{White} x} a + 2 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad a \geq -2 \)

Eftersom \( x = a + 2 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( x = a + 2\, \).

Fall 2: \( {\color{White} x} a + 2 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad a < -2 \)

Eftersom \( {\color{White} x} x = a + 2 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( -x = -(a + 2)\, \) vilket ger \( -a - 2\, \).

Svar: \( {\color{White} x} | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ \end{cases} \)

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

Ekvationer med absolutbelopp

Exempel 1

Lös ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \)

Eftersom vi inte känner till \( \, x\) måste vi skilja mellan två fall:

Fall 1: \( {\color{White} x} x + 1 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( x + 1\, \). Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgäd. Ekvationen blir:

\[\begin{align} x + 1 & = 3 \\ x & = 3 - 1 \\ x_1 & = 2 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättnigen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( x \geq -1 \). Men faktiskt är \( 2 \geq -1 \). Därmed kan vi godta denna lösning. Annars hade den varit en falsk rot.

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller obligatoriska. I Exempel 2 förekommer faktiskt en falsk rot.

Fall 2: \( {\color{White} x} x + 1 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( -(x + 1) = -x - 1\, \). Dvs i det här fallet måste vi ersätta \( x + 1\, \) med \( -x - 1\, \), när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

\[\begin{align} -x - 1 & = 3 \\ -3 - 1 & = x \\ -4 & = x \\ x_2 & = -4 \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättnigen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( x < -1\, \). Men faktiskt är \( -4 < -1\, \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar: \(\begin{align} {\color{White} x} \, {\color{White} x} x_1 & = 2 \\ x_2 & = -4 \end{align}\)

Vi ritar i samma koordinatsystem.graferna till de två funktionerna:

\[\begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\ y_2 & = 3 \end{align}\]

Graferna bekräftar att det finns två lösningar. Även grafernas skärningspunkter \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -4\, \) bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen \( {\color{White} x} | \, x + 1 \, | \, = \, 3 {\color{White} x} \).

Exempel 2

Lös ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x - 3 \, | - 2\,x\, = \, 1 \)

Fall 1: \( {\color{White} x} x - 3 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = x - 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} x - 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,x - 3 & = 1 \\ - 3 - 1 & = x \\ - 4 & = x \\ x_1 & = - 4 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättnigen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( x \geq 3 \). Faktiskt är \( - 4 \not\ge 3 \). Därmed måste vi förkasta denna lösning. \( x_1 = - 4\, \) är en falsk rot.

Fall 2: \( {\color{White} x} x - 3 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = -(x - 3) = -x + 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} -\,x + 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,3\,x + 3 & = 1 \\ 3 - 1 & = 3\,x \\ 2 & = 3\,x \\ {2 \over 3} & = x \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättnigen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( x < 3\, \). Det stämmer att \( {2 \over 3} \) \( < 3 \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har endast denna lösning.

Svar: \(\begin{align} {\color{White} x} \, {\color{White} x} x & = {2 \over 3} \end{align}\)

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:

\[\begin{align} y_1 & = | \, x - 3 \, | \\ y_2 & = 2\,x + 1 \end{align}\]

Graferna bekräftar att det finns endast en lösning. Även grafernas skärningspunkt \( {2 \over 3} \) bekräftar den lösning vi fått för ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x - 3 \, | - 2\,x \, = \, 1 {\color{White} x} \).

Olikheter med absolutbelopp

Exempel

Lös olikheten \( {\color{White} x} \, | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \)

Fall 1: \( {\color{White} x} x + 2 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = x + 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} x + 2 & < 4 \\ x & < 4 -2 \\ x & < 2 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 1:s förutsättning \( {\color{White} x} x \geq -2 {\color{White} x} \) ger detta:

Svar Fall 1: \( {\color{White} x} \;\; -2 \leq x < 2\, \)

Fall 2: \( {\color{White} x} x + 2 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = -(x + 2) = -x - 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} -\,x - 2 & < 4 \\ -\,4 - 2 & < x \\ -\,6 & < x \\ x & > -\,6 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 2:s förutsättning \( {\color{White} x} x < -2 {\color{White} x} \) ger detta:

Svar Fall 2: \( {\color{White} x} \;\; -6 < x < -2\, \)

Om vi nu sammanfogar Svar Fall 1 med Svar Fall 2 får vi:

Olikhetens lösning: \( {\color{White} x} \;\; -6 < x < 2\, \)

På bilden ovan visas i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:

\[\begin{align} y & = | \, x + 2 \, | \\ y & = 4 \end{align}\]

Olikhetens lösning är markerad med rött. Den består av alla \( x \, \) för vilka grafen till \( y = | \, x + 2 \, | \) befinner sig under grafen till \( y = 4\, \) dvs alla \( x \, \) för vilka \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \).

Svar: Olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) har lösningen \( \, -6 < x < 2 \) .

Intervall med absolutbelopp

Uppgift:      Skriv om intervallet \( -6 < x < 2 \) till en olikhet med hjälp av absolutbelopp.

Vi vänder alltså om frågeställningen i Exemplet ovan. Vi antar att vi har lösningen \( -6 < x < 2\, \) (till Exemplet) och söker olikheten som har denna lösning.

Lösning: Sådana uppgifter löses i två steg:

• Hitta intervallets mittpunkt.

• Hitta intervallets halva längd.

Då kan intervallet skrivas om till olikeheten:

\[ {\color{White} x} | \, x \,- {\rm mittpunkt} \, | < \, {\rm halva\;längd} \]

Låt oss börja med att hitta mittpunkten till intervallet \( \,-6 < x < 2 \). Det görs bäst med intervallgränsernas medelvärde:

\[ {-6 + 2 \over 2} = {-4 \over 2} = -2 \]

Sedan beräknar vi intervallets halva längd genom dra av intervallgränserna från varandra (oavsett ordning), dela med 2 och sätta det hela inom absolutbelopp eftersom längd alltid är positiv:

\[ \left| {-6 - 2 \over 2} \, \right| = \left| {-8 \over 2} \, \right| = | -4 \, | = 4 \]

Därmed kan intervallet skrivas om till olikeheten:

\[ {\color{White} x} | \, x \,- {\rm mittpunkt} \, | < \, {\rm halva\;längd} {\color{White} x} = {\color{White} x} | \, x - (-2) \, | < 4 {\color{White} x} \; {\rm dvs} \; {\color{White} x} | \, x + 2 \, | < 4 \]

Svar: Intervallet \( -6 < x < 2 \, \) kan skrivas om till olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) .

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU

http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.