2.3a Lösning 11

Vi förenklar uttrycket i limes först genom att förlänga det med konjugaten:

\[ x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} \]

Sedan förkortar vi uttrycket med \( x \, \):

\[ {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{x^2/x^2 - x/x^2 }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 1/x}} } \]