2.5 Lösning 7

Vi bestämmer \( C \, \):

\[ \begin{array}{rcl} B\,(t) & = & C \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]

"I början mättes \( 150\, \) bakterier i mjölken" innebär:

\[ \begin{array}{rcrcl} B(0) & = & C \cdot e\,^{k\,\cdot\, 0} & = & 150 \\ & & C \cdot e\,^{0} & = & 150 \\ & & C \cdot 1 & = & 150 \\ & & C & = & 150 \end{array}\]

Vi bestämmer \( k \, \):

\[ \begin{array}{rclcl} B\,(t) & = & 150 \cdot e\,^{k\,t} & & \\ B\,'(t) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} & & \\ \end{array}\]

"Efter \( 8\, \) timmar förökar sig bakterierna med \( 350\, \) i timmen" innebär:

\[ \begin{array}{rcrcl} B\,'(8) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\, 8} & = & 350 \\ & & 150 \cdot k \cdot e\,^{8\,k} & = & 350 \\ & & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {350 \over 150} \\ & & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {7 \over 3} \end{array}\]

För att lösa ekvationen ovan för \( k\, \) används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx 0,3 \) .

Enligt instruktionerna i EQUATION SOLVER får vi med detta startvärde följande lösning till ekvationen \( x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} \,=\, 0 \):

\[ x \,=\, 0,2697122\ldots \,=\, k \]

Med detta värde för \( k\, \) specificerar vi vår modell för bakteriernas tillväxt:

\[ B\,(t) \, = \, 150 \, e\,^{0,2697122\,t} \]

"Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier nått \( 2\,000 \)?" innebär att lösa följande ekvation för \( t\, \) :

\[ 150 \, e\,^{0,2697122\,t} \, = \, 2\,000 \]

Grafräknaren används. Ett startvärde erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx 10 \). Med detta startvärde får vi i räknarens EQUATION SOLVER följande lösning till ekvationen \( 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \,=\, 0 \):

\[ x \,=\, 9,603819\ldots \,=\, t \]