3.1 Lösning 9c

Räta linjens ekvation i \(\,k\)-form:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Tangenten till kurvan    \( y = f(x) = 3\,x^2 - 2\,x - 4 \)    i    \( x = 1 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i    \( x = 1 \)    är \( f\,'(1) \). Därför:

\[ k \, = \, f\,'(1) \]

Från uppgiftens del a) har vi att \( f\,'(1) = 4 \). Således:

\[ k \, = \, 4 \]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 4\,x \, + \, m \]

Beröringspunktens koordinater:

\[ x = 1 \]

\[ y = f(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 3 - 2 - 4 = -3 \]

Beröringspunkten ligger på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & 4\,x \, + \, m \\ -3 & = & 4 \cdot 1 \, + \, m \\ -3 & = & 4 \, + \, m \\ -3 - 4 & = & m \\ - 7 & = & m \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 4\,x \, - \, 7 \]