3.1 Lösning 10a

Vi har:

\[ f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

\[ f\,'(x) = 8\,x - 380 \]

Medelvärdessatsen:

Det finns minst en punkt \( \, c \, \) i intervallet \( \, 0 < x < 45 \, \) så att det gäller:

\[ \begin{array}{rcl} {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} & = & f\,'(c) \\ \\ {4\cdot 45^2 - 380\cdot 45 + 9\,000 \, - \, 9\,000 \over 45} & = & 8\,c - 380 \\ \\ {45\cdot (4\cdot 45 - 380) \over 45} & = & 8\,c - 380 \\ \\ 4\cdot 45 - 380 & = & 8\,c - 380 \\ 4\cdot 45 & = & 8\,c \\ 4\cdot 45\,/\,8 & = & c \\ 22,5 & = & c \end{array} \]

Derivatans medelvärde i intervallet \( \, 0 \leq 45 \leq 3 \, \) är \( \, -200 \, \) pga:

\[ 4\cdot 45 - 380 \, = \, 8\cdot 22,5 - 380 \, = \, -20 \]