3.1 Lösning 11a

Vi har:

\[ f(x) = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

\[ f\,'(x) = 0,48\,x\,-\,2,4 \]

Medelvärdessatsen:

Det finns minst en punkt \( \, c \, \) i intervallet \( 1 \leq x \leq 6 \) så att det gäller:

\[ \begin{array}{rcl} {f(6) \, - \, f(1) \over 6 - 1} & = & f\,'(c)\\ \\ {0,24\cdot 6^2 - 2,4\cdot 6 + 7 - (0,24\,-\,2,4\,+\,7) \over 5} & = & 0,48\;c\,-\,2,4 \\ \\ {0,24\cdot 6^2 - 2,4\cdot 6 - 0,24 + 2,4 \over 5} & = & 0,48\,c\,-\,2,4\\ -0,72 & = & 0,48\;c\,-\,2,4 \\ -0,72\,+\,2,4 & = & 0,48\;c \\ 1,68\,/\,0,48 & = & c \\ 3,5 & = & c \end{array} \]

Temperaturändringens medelvärde mellan kl 1 och kl 6 är lika med derivatans medelvärde i tidsintervallet \( \, 1 \leq x \leq 6 \, \) och den i sin tur lika med derivatans värde i punkten \( \, x = c = 3,5 \, \):

\[ f\,'(c) \, = \, f\,'(3,5) \, = \, 0,48\cdot 3,5 - 2,4 \, = \, -0,72 \]

Med andra ord: Temperaturen sjunker i medel med \( \, 0,72 \, \) grader Celsius i timmen under natten mellan kl 1 och kl 6. Med samma takt sjunker temperaturen kl 3:30.