3.2 Lösning 1a
Vi deriverar två gånger:
- \[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
- \[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]
- \[ f''(x) \, = \, - 18 \]
För att få reda på derivatans nollställe som reglerna om maxima och minima med andraderivata kräver sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):
- \[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 18\,x \\ & & {6 \over 18} & = & x \\ & & x & = & {1 \over 3} \end{array}\]
Nu vet vi att derivatan blir \( \, 0 \) i \( x = 5 \, \) dvs tangenten till kurvan \( y = f(x) \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontell i \( x = 5 \, \). Men en horisontell tangent kan vara ett maximum eller ett minimum.
För att avgöra om det föreligger ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken. Därför sätter vi \( x = 5 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
- \[ f''(5) = 0,48 \,>\, 0 \]
Andraderivatan är positiv (konstant) för alla \( x \, \) och därmed även för \( x = 5 \, \). Därav följer att \( f(x) \, \) har ett minimum i \( x_{min} = 5 \, \).
Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl \( 5 \, \).
