3.2 Lösning 4g

\[\begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\ f''(x) & = & -18\,x + 36 \end{array}\]

b)   Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0 \\ & & t^2 - 6 \,t + 8 & = & 0 \end{array}\]

2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med Vieta:

\[ \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 & = & 8 \\ t_1 + t_2 & = & -(-6) = 6 \\ &\Downarrow& \\ t_1 & = & 2 \\ t_2 & = & 4 \end{array}\]

Dvs \( V'(2) = V'(4) = 0\, \) vilket innebär att tangenterna till kurvan \( V(t)\, \) i punkterna \( t_1 = 2 \, \) och \( t_2 = 4 \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontella. Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter. För att skilja mellan maximum och minimum har vi två metoder till förfogande: andraderivatan och teckentabellen. Vi använder dem en i taget:

---

1)   Lösning med andraderivata:

Reglerna om maxima och minima med andraderivata som kräver andraderivatans tecken tillämpas enskilt på vart och ett nollställe till derivatan.

Nollställe 1: \( {\color{White} x} t_1 = 2 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( t_1 = 2 \, \) i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]

\[ V''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( t_1 = 2 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett minimum i \( t_1 = 2 \, \).

Nollställe 2: \( {\color{White} x} t_2 = 4 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).

Alltså har företaget sin största vinst efter \( t_2 = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.