3.2 Lösning 11b

\[ A(x) \, = \, -\,{a \over b}\,x^2 \, + \, a\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{2\,a \over b}\,x \, + \, a \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{2\,a \over b} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{2\,a \over b}\,x + a & = & 0 \\ & & a & = & {2\,a \over b}\,x \\ & & {a \cdot b \over 2\,a} & = & x \\ & & x & = & {b \over 2} \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):

\[ A''(15) = -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( \, x = 15 \, \). Därav följer att \( A(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = 15 \, \).

Rektangeln får största arean för \( \, x = 15 \, \).

Rektangelns största area:

\[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]