3.3 Terasspunkter

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion 31 Kurvkonstruktion med derivata I

Lektion 32 Kurvkonstruktion med derivata II

Terasspunkter

I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima:

• Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och andraderivatan \( \, < \, 0 \, \) eller \( \, > \, 0 \, \) dvs \( \, \neq \, 0 \, \).

• Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan byter tecken kring sitt nollställe.

Båda metoder uteslöt följande alternativ:

• Både funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \).

• Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan bibehåller sitt tecken kring sitt nollställe.

Detta alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \) eller om funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och bibehåller sitt tecken kring sitt nollställe?

Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 \\ f''(x) & = & 6\,x \end{array}\]

Så här ser graferna ut:

            

+++ För att få reda på +++

Regeln om terasspunkter

Två kriterier behövs för att få reda på en funktions maxima och minima: ett om derivatans nollställen, ett om andraderivatans tecken. Båda måste vara uppfyllda. Följande regler gäller:

:

Derivatans nollställen och andraderivatans tecken avgör för vilka \(\, x \) en funktion har maxima resp. minima:

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett maximum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)

---

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett minimum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. \)

---

Om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen varken ett maximum eller ett minimum.

Reglerna ovan säger i ord:

Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum. Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum. Där både derivatan och andraderivatan är \( \, 0 \) föreligger varken ett maximum eller ett minimum. Vad som gäller då behandlas i nästa avsnitt.