Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata

Uppgift 1

Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 9\,x \, + \, 8 \)

Uppgift 2

Vad blir \( \; f\,'(-3) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \,\displaystyle{\frac{2\,x\,^4}{9} + \frac{x\,^3}{3}} \)

Uppgift 3

Ställ upp derivatan \( \; f\,'(x) \; \) om \( \qquad f(x) \, = \,\displaystyle{2\,x \, + \, \frac{1}{x}} \)

Uppgift 4

Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \,\displaystyle{\frac{5\,x}{12}\; + \;\sqrt x} \)

Uppgift 5

Vad blir \( \; f\,'(1) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, 5\,e\,^x \, - \, 3 \, e^{-4\,x} \)

Uppgift 6

För vilket x antar derivatan av följande funktion värdet \( \, 17 \, \)?

\[ y\; = \; 6\,^x \]

Ange svaret avrundat till tre decimaler.

Uppgift 7

Ställ upp derivatan av följande funktion: \( \qquad\displaystyle{ y\;\; = \;\;\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{ - x}}}}{2} } \)

Uppgift 8

Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y \, = \, x^2 \, + \, 5\,x \, - \, 1 \]

i punkten \( \, - 1 \, \).

Uppgift 9

Temperaturen T i en kopp kaffe sjunker enligt modellen

\[ T \, = \, 70 \cdot e^{-0,034\,t} \, + \, 35 \]

där \( \, t \, \) är tiden i minuter efter att kaffet hällts i koppen.

Hur stor är avkylningshastigheten efter \( \, 10 \, \) minuter?

Ange svaret med två decimalers noggrannhet.

Uppgift 10

Lös följande ekvation exakt: \( \qquad\qquad \ln x = 1 + \ln \,(x - 1) \)

Uppgift 11

Förenkla så långt som möjligt: \( \qquad\qquad \displaystyle {x \, - \, 1 \over 1\, - \,x} \; + \; {1\, + \,y \over y\, + \, 1} \)

Uppgift 12

Förenkla det rationella uttrycket: \( \qquad\qquad \displaystyle {{p\,z \, + \, 1} \over {p\,z \, + \, (p\,z)\,^2}} \)

Uppgift 13

Lös ut \( \, x \, \) från: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\frac{1}{2} - \frac{a}{x + 1} - 1 = 5 + \frac{1}{3} - \frac{b}{x + 1}} \)

Uppgift 14

På ett bankkonto har ett kapital på \( \, 100\,000 \, \) kr under \( \, 5 \, \) år vuxit till \( \, 190\,000\, \) kr.

a) Vilken räntesats per år hade kontot? Ange svaret med en decimal.

b) Vilken typ av ekvation blir det i a) och vilken operation löser ekvationen?

c) Använd räntesatsen från a) för att besvara frågan:

Hur länge tar det tills startkapitalet tredubblats?

Avrunda svaret till hela år och månader.

d) Vilken typ av ekvation blir det i c) och vilken operation löser ekvationen?

Uppgift 15

Bakterier i mjölk anses växa enligt modellen:

\[ \, y = 10 \cdot e{\,^{0,5\,x}} \]

där \( \, y \, \) är antalet bakterier och \( \, x \, \) tiden i timmar.

a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?

b) Hur många bakterier kommer det att finnas i mjölken efter \( \, 8 \, \) timmar?

c) Efter hur många timmar och minuter blir mjölken sur?

Mjölken anses vara sur när antalet bakterier har uppnått \( \, 1\,250 \).