2.5 Lösning 8

Vi sätter \( t = 0 \, \) vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till \( T_0 = 31\, \). Med rumstemperaturen \( T_r = 18\, \) vid undersökningen blir modellen:

\[ \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ T\,(t) & = & (31 - 18)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \\ T\,(t) & = & 13 \cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \end{array}\]

Vi bestämmer \( k \, \):

\[ \begin{array}{rcl} T\,'(t) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]

"Kroppstemperaturen minskade med 0,07 grader i timmen vid kl 21" innebär:

\[ \begin{array}{rcrcl} T\,'(60) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\,60} & = & -\,0,07 \\ & & 13 \cdot k \cdot e\,^{60\,k} & = & -\,0,07 \\ & & 13\,k\,e\,^{60\,k} \,+\, 0,07 & = & 0 \end{array}\]

För att lösa ekvationen ovan för \( k\, \) används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 13\,x\,e\,^{60\,x} + 0,07 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,0,01 \). Med detta startvärde får vi i EQUATION SOLVER följande lösning:

\[ x \,=\, -\,0,0095501058\ldots \,=\, k \]

Med detta värde för \( k\, \) specificerar vi vår modell:

\[ T\,(t) \, = \, 13\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \]

Nu bestämmer vi tiden \( t \, \) när mordet skedde:

Vi antar att kroppstemperaturen vid den tid då mordet skedde, var normal dvs \( 37\, \) grader. Därför sätter vi i modellen ovan kroppstemperaturen \( T\,(t) \) vid denna tid till \( 37\, \) grader och löser ekvationen för \( t \, \):

\[ \begin{array}{rclcl} T\,(t) & = & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 & = & 37 \\ & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \,-\, 37 & = & 0 \\ & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,-\, 19 & = & 0 \end{array}\]

Även denna ekvation löses med grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y = 13\,e\,^{-\,0,0095501058\,x} - 19 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,40 \). Med detta startvärde får vi i EQUATION SOLVER följande lösning:

\[ x \,=\, -\,39,7367\ldots \,=\, t \]

Vi kommer ihåg att vi satte tiden \( t = 0 \, \) vid kl 20 när mordet upptäcktes, vilket innebär att mordet \(-\) enligt resultatet ovan avrundat till hela minuter \(-\) skedde \( 40 \, \) minuter i kl 20:

\[ {\rm Mordet\;skedde\;kl\;19.20\;} . \]