Kapitel 4 Integraler
| << Förra kapitel | Start Matte 3c | Planering Matte 3c | Formelsamling Integraler | Nästa kapitel >> |
F.o.m. detta avsnitt finns kursens övningar inte på webben, utan endast genomgångarna. Därför:
Läs igenom genomgångarna här, men för övningarna använd boken Matematik 5000.
Utdrag ur planeringen:
4.1 Primitiva funktioner
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 175
Hittills har vi deriverat en given funktion.
Nu vänder vi på steken: Derivatan är given. Istället söker vi den ursprungliga funktion vars derivata är given.
Vi byter också beteckning: \( \; f\,(x) \, \) är inte längre den ursprungliga funktionen utan derivatan av en okänd funktion.
Ex.: Givet: \( \quad\;\; f\,(x) \; = \; x\,^3 + 5 \) Sökt: \( \quad\;\;\, F(x) \quad \) så att \( \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 \) Lösning: \( \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C} \, , \;\; C={\rm const.} \) Kontroll: \( \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 = x\,^3 + 5 = f\,(x) \) |
Definition: Givet: \( \quad f\,(x) \) Sökt: \( \quad \) En funktion \( \; F\,(x) \; \) som ger: \( \qquad\qquad\qquad F\,'\,(x) = f\,(x) \) Funktionen \( \, F\,(x) \, \) kallas för primitiv funktion.
|
- Att hitta en primitiv funktion kallas för integration som är deriveringens inversa operation.
- Konstanten \( \, C \, \) kallas för integrationskonstanten. \( \quad \Rightarrow \quad \) Det finns alltid oändligt många primitiva funktioner.
Fysikalisk tolkning:
| \( \quad \) |  |
\( \quad \) Hastighetsmätaren deriverar. \( \;\; \)
|
 |
Integration är den inversa operationen till derivering. \( \quad \) Primitiv funktion = "Anti"derivata
Derivata Integral Fysikalisk tolkning: Hastighet Sträcka Geometrisk tolkning: Kurvans lutning Area under kurvan Matematisk tolkning: Limes av differenskvot Limes av oändlig summa
Integrationskonstanten \( \, C \, \) visar att det alltid finns oändligt många primitiva funktioner.
För att få en entydig primitiv funktion \( \, F(x) \, \) bestäms integrationskonstanten \( \, C \, \) så att
vissa krav på \( \, F(x) \, \) är uppfyllda. Dessa krav kallas för villkor, ibland begynnelsevillkor. \( \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} \)
4.2 Primitiva funktioner med villkor
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 177
I fysikaliska tillämpningar är den mest förekommande typen av villkor begynnelsevillkor, dvs:
Vad gällde i början, vid \( \, t = 0 \, \), t.ex. var (när) nollställdes trippmätaren?
Icke-fysikaliskt exempel på primitiv funktion med en annan typ av villkor:
4.3 Integral som area under kurvan
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 180
\( \, a \, \) och \( \, b \, \) kallas för integrationsgränser och ersätter integrationskonstanten \( \, C \, \).
Annat ex. på "Area under kurvan" : \( \quad \) Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h
- \[ \text{Area} \; = \; \int\limits_0^4 {\color{Red} {60}} \; dt \; = \; \left[ \, {\color{Red} {60\,t}} \, \right]_0^4 \; = \; 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \; = \; 240 \]
Integralen över hastigheten = Arean under hastighetskurvan = Sträckan.
Ytterligare exempel:
Parentes: Integral som Limes av oändlig summa
4.4 Integralberäkning med primitiv funktion
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 185
När en integral har bestämda integrationsgränser, så som i exemplen a) och b) ovan, finns inga villkor med i uppgiften.
Då ar villkoret inbakat i integrationsgränserna. En sådan integral kallas för bestämd integral och dess resultat är ett tal.
När en integral inte har några integrationsgränser, är dess resultat inte ett tal, utan en funktion, närmare bestämt den primitiva funktionen.
Då borde även ett villkor vara med för att entydigt bestämma den primitiva funktionen.
Fattas villkoret måste man alltid addera en s.k. integrationskonstant C, vilket gör att resultatet blir oändligt många funktioner.
En sådan integral kallas för obestämd integral.
4.5 Användning av integraler
Genomgång: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \) Övningar: Boken, sid 188-90
| \( \quad \) | 3438 (3c-boken, sid 190):
En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen. Hastigheten \( \, v \, \) ökar enligt \( \, v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \) där \( \, t = \, \) tiden i sek. Fysikalisk tolkning: \( \; \) Se grafen. Vilken maximal hastighet \( \, v_{max} \, \) kan hopparen inte överskrida? \( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, \), eftersom \( \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \). Vilken slutsats kan man dra därav om vilken typ av fritt fall det handlar om? |
\( \quad\; \) |  |
\( \quad\; \)Se grafen. När \( v \, \approx \, v_{max} = \, 80 \) m/s har vi (nästan) ett exempel på Newtons fösta lag:
\( \quad\, \) Likformig rörelse med konstant hastighet när summan av alla krafter \( = 0 \, \), i vårt fall: när luftmotståndet \( \, \approx \, \) gravitationen.
\( \quad\, \) Vår uppgift: Hur långt har hopparen fallit när \( \, v = 40 \, \) m/s ?
Ekonomiskt exempel:
Marginalkostnad som (given) derivata av kostnadsfunktionen (sökt integral). Jfr. med marginalskatt som derivata av löne-skattefunktionen.
Copyright © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
