1.3 Repetition: Tal i bråkform

Repetition: Tal i bråkform

Tal i bråkform är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Rationella uttryck.

Matte 1:

Förkortning av bråk

Förkorta bråken så långt som möjligt:

\( \quad \displaystyle \frac{2}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{\color{Red} 2}}{2 \cdot \cancel{\color{Red} 2}} \; = \; \frac{1}{2} \)

\( \quad \displaystyle \frac{6}{9} \; = \; \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} \; = \; \frac{2 \cdot \cancel{\color{Red} 3}}{3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} \; = \; \frac{2}{3} \)

\( \quad \displaystyle \frac{10}{15} \; = \; \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} \; = \; \; \frac{2 \cdot \cancel{\color{Red} 5}}{3 \cdot \cancel{\color{Red} 5}} \; = \; \frac{2}{3} \)

\( \quad \displaystyle \frac{8}{24} \; = \; \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 4}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 12} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 2}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 6} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 1}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 3} \, = \, \frac{1}{3} \)

Metoden:

Hitta en gemensam faktor hos täljaren och nämna-

ren. Dividera både täljaren och nämnaren med

samma gemensamma faktor.

Förlängning av bråk

Förläng bråken:

\( \;\; \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 \cdot {\color{Red} 3}}{4 \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; \frac{9}{12} \)

\( \;\; \displaystyle \frac{2}{3} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Red} 4}}{3 \cdot {\color{Red} 4}} \; = \; \frac{8}{12} \)

Metoden:

Multiplicera täljaren och nämnaren med samma tal.

Varför förlängning?

Exemplen ovan visar att bråken genom förlängning

kan få samma nämnare, vilket gör att man t.ex. kan

addera dem med och subtrahera dem från varandra.

Slutsats:

Både förkortning och förlängning bibehåller

bråkets värde.

Addition och subtraktion av bråk

Fall 1 Lika nämnare

\( \quad \displaystyle \frac{1}{\color{Red} 5} \; + \; \frac{3}{\color{Red} 5} \; = \; \frac{4}{\color{Red} 5} \)

\( \quad \displaystyle \frac{11}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{5}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2} \)

\( \quad \displaystyle \frac{5}{\color{Red} {11}} + \frac{13}{\color{Red} {11}} - \frac{9}{\color{Red} {11}} = \frac{5+13-9}{\color{Red} {11}} = \frac{9}{\color{Red} {11}} \quad \)

Regeln för add./subtr. av bråk med lika nämnare:

Bibehåll och ta över den gemensamma

nämnaren. Addera/subtrahera täljarna.

Fall 2 Olika nämnare

\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; + \; \frac{1}{3} \; = \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{2 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 2}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 2}} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{3}{\color{Red} 6} \; + \; \frac{2}{\color{Red} 6} \; = \; \frac{5}{\color{Red} 6} \)

\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; + \; \frac{1}{5} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Limegreen} 5}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 5}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{5 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{10}{\color{Red} {15}} \; + \; \frac{3}{\color{Red} {15}} \; = \; \frac{13}{\color{Red} {15}} \)

\( \quad \displaystyle \frac{7}{4} \; - \; \frac{5}{3} \; = \; \frac{7 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{4 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; - \; \frac{5 \cdot {\color{Limegreen} 4}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{21}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{20}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1}{\color{Red} {12}} \quad \)

Regeln för add./subtr. av bråk med olika nämnare:

Förläng bråken så att de får en gemen-

sam nämnare (oftast nämnarnas produkt).

Använd regeln för add./subtr. av bråk

med lika nämnare.

Multiplikation av bråk

\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \cdot \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \; = \; \frac{3}{8}\)

\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \cdot \; \frac{4}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} \; = \; \frac{8}{21} \)

\( \quad \displaystyle \frac{3}{4} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} \; = \; \frac{6}{12} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2} \)

Regeln för multiplikation av bråk:

Multiplicera:	täljarna	med	varandra,
	nämnarna	med	varandra.

Allmän regel för redovisning av bråkuppgifter:

Förkorta dina svar så långt som möjligt.

Division av bråk

\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \Big/ \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1}{2} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{4}{3}}} \; = \; \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \; = \; \frac{4}{6} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\; \displaystyle \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 2}{\cancel{2} \cdot 3} \; = \; \frac{2}{3} \)

\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \Big/ \; \frac{5}{7} \; = \; \frac{2}{3} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{7}{5}}} \; = \; \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} \; = \; \frac{14}{15} \)

\( \quad \displaystyle \frac{4}{7} \; \Big/ \; \frac{3}{5} \; = \; \frac{4}{7} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{5}{3}}} \; = \; \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 3} \; = \; \frac{20}{21} \)

Regeln för division av bråk:

Ersätt \( / \) med \( {\color{Red} {\cdot}} \) och invertera det bråk som

man skulle dividera med (dvs det andra).

Använd regeln för multiplikation av bråk.

Att invertera t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{4} \, \) ger \( \, \displaystyle {\color{Red} {\frac{4}{3}}} \; \).

Dubbelbråk

\( \;\; \displaystyle \frac{\frac{{\color{Red} 2}}{{\color{Limegreen} 5}}}{\frac{{\color{Limegreen} 4}}{{\color{Red} 9}}} \) \( \displaystyle \; = \; \frac{{\color{Red} 2} \cdot {\color{Red} 9}}{{\color{Limegreen} 5} \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 9}{5 \cdot 2 \cdot \cancel{2}} \; = \; \frac{9}{5 \cdot 2} \; = \; \frac{9}{10} \)

\( \;\; \) Förkorta även på vägen till svaret om möjligt.

Regeln för dubbelbråk:

Ta de "yttersta" (\( \, {\color{Red} 2} \, \) och \( \, {\color{Red} 9} \, \)) till täljaren.

Ta de "innersta" (\( \, {\color{Limegreen} 5} \, \) och \( \, {\color{Limegreen} 4} \, \)) till nämnaren.

Bråk gånger heltal

\( \displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{1} \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 1} \; = \; \frac{2 \cdot 3 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3}} \; = \; 6 \)

Snabbare:

\( \displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3} \; = \; \frac{18}{3} \; = \; 6 \)

\( \displaystyle 2 \cdot \frac{5}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 5}{7} \; = \; \frac{10}{7} \)

Regel:

Ta täljaren \( \times \) heltalet, bibehåll nämnaren.