2.4 Derivatans definition

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt >>

Lektion 15 Derivatans definition I

Lektion 16 Derivatans definition II

Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet

Exempel Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten enligt:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

Beräkna ett bra närmevärde till oljans utströmningshastighet

när den är störst, t.ex. genom att beräkna oljans genomsnitt-

liga utströmningshastighet i det lilla intervallet \( \, \color{Red} {0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1} \, \).

Lösning:

Oljans utströmningshastighet är störst när volymen och därmed trycket på hålet är störst, dvs i början.

Även grafen visar att kurvans lutning är brantast vid tiden \( \, x = 0\, \) när oljan har den största volymen \( \, 9\,000 \) liter.

Men vi kan inte beräkna utströmningshastigheten vid tiden \( \, x = 0 \, \) därför att \( x = 0 \) inte är något intervall utan en punkt.

Hastigheten vid en viss tidpunkt, t.ex. \( \, x = 0 \, \), kallas för ögonblicklig eller momentan förändringshighet.

Den momentana utströmningshastigheten vid tidpunkten \( \, x = 0 \, \) kan vi inte beräkna än. Däremot kan vi närma

oss den genom att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten i det lilla intervallet \( \, \color{Red} {0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1} \, \):

\[ f\,(\color{Red} 0) = 4 \cdot \color{Red} 0\,^2 - 380 \cdot \color{Red} 0 + 9\,000 = 9\,000 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_1 \, = \, 0\]

\[ f\,(\color{Red} {0,1}) = 4 \cdot \color{Red} {0,1}\,^2 - 380 \cdot \color{Red} {0,1} + 9\,000 = 8962,04 \qquad\qquad\qquad h \, = \, 0,1\]

\[ \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} = {f(0 + 0,1) - f(0) \over 0,1} = {f(0,1) - f(0) \over 0,1} = {8962,04 - 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = \color{Red} {-379,6} \]

I intervallet \( \, \color{Red} {0 \leq x \leq 0,1} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 379,6\, \) liter per minut.

Faktiskt är \( \, \color{Red} {-379,6} \, \) inget dåligt närmevärde, för det exakta värdet kommer att visa sig vara \( \, \color{Red} {-380} \, \), se nedan: Lösning 2).

Ett ännu bättre närmevärde skulle vi få om vi valde en ännu mindre intervallängd, t.ex. \( \, h = 0,01 \, \) osv. : Jobbigt förfarande!

För att få det exakta värdet använder vi limes och låter intervallängden gå mot \( \, 0\, \): \( \quad \color{Red} {\boxed{h \to 0}} \)

Derivatan i en punkt = Derivatan som ett tal

Exempel Oljetank (se ovan)

1) Ställ upp oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, \color{Red}{0 \,\leq\, x \,\leq\, h} \, \) som ett uttryck i \( \, h \, \).

2) Beräkna oljans momentana utströmningshastighet i punkten \( \, x = 0 \) genom att i uttrycket ovan låta \( \, h \, \) gå mot \( \, 0 \).

Lösning:

1) Den allmänna definitionen av genomsnittlig förändringshastighet är:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]

I exemplet Oljetank har vi \( \, x_1 = 0 \). Därför:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad \color{Red}{0 \,\leq\, x \,\leq\, h} \]

För \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) får vi \( \, f\,(h) \, = \, 4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \, \) och \( \, f\,(0) \, = \, 9\,000 \).

Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \):

\[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {\color{Red} h\,(4\,h - 380) \over \color{Red} h} \,=\, \color{Red}{4\,h - 380} \]

2) Nu låter vi i uttrycket \( 4\,h - 380 \) för den genomsnittliga utströmningshastigheten \( \, h\, \) gå mot \( 0 \)

för att få oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0\, \). Dvs vi beräknar gränsvärdet:

\[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0}\, {(\color{Red}{4\,h - 380})} \,=\, -\,380 \]

\( \quad -\,380\, \) är oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0 \, \). Dvs vid denna tidpunkt sjunker oljan med exakt \( \, 380\, \) liter per minut.

Ett annat ord för den momentana utströmningshastigheten är derivatan:

Funktionen \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \; \) derivatan \( \; -\,380 \; \).

Man skriver: \( \; f\,\color{Red} '(0) \,=\, -\,380 \; \) och läser: "\( \, f \) prim av \( \, 0 \, \) är \( \; -\,380 \; \)" , där \( \color{Red} ' \; \) är symbolen för derivatan.

Derivatan av \( \, f\,(x) \, \) i punkten \( \, x = \color{Red} 0 \; \) är \( \; \displaystyle f\,{\color{Red} '}(\color{Red} 0) \, = \, \lim_{h \to 0}\,{f(\color{Red} 0 + h) \, - \, f(\color{Red} 0) \over h} \; = \; \color{Red} {-\,380} \) .

Generellt:

Derivatan av \( \, f\,(x) \, \) i punkten \( \, x = \color{Red} a = {\rm const.} \; \) är \( \; \displaystyle f\,{\color{Red} '}(\color{Red} a) \, = \, \lim_{h \to 0}\,{f(\color{Red} a + h) \, - \, f(\color{Red} a) \over h} \; = \; \) ett tal.

Ett enklare exempel

I de två exemplen ovan beräknade vi derivatan i en punkt, i \( \, x = 0 \, \) i det första och i \( \, x = 4 \, \) i det andra exemplet. Resultatet blev ett tal.

Sammanfattning:

Vi får derivatan av \( \, f(x) \, \) i punkten \( \, x = a = {\rm const.} \, \) genom att ta två steg:

1) Att ställa upp den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) \, - \, f(a)}{h} \, \) i intervallet \( \, a \,\leq\, x \,\leq\, h \, \) som ett uttryck i \( \, h \, \).

2) Att beräkna detta uttrycks gränsvärde för \( \, h \to 0 \, \): \( \qquad\qquad\quad \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(a + h) \, - \, f(a) \over h} \; = \; \color{Red} {f\,'(a)} \, \)

Nu ska vi betrakta punkten \( \, x = a \, \) inte längre som konstant utan som variabel. Dvs vi tillämpar derivatans definition på varenda punkt på \( \, x\)-axeln.

Tänker man sig alla dessa derivatvärden tilldelade sina respektive \( \, x\)-värden, blir resultatet en ny funktion av \( \, x \, \) som är den ursprungliga funktionens derivata.

Derivatan som en ny funktion

Ex.: \( \quad y \, = \, f(x) \, = \, 5\,x^2 \quad \) som ovan, men: \( \qquad\quad f\,'({\color{Red} x}) \, = \, {\rm ?} \qquad \color{Red} x \, = \, \color{Red}{\rm variabel} \)

Exempel på att derivatan av en andragradsfunktion (parabel) är en linjär funktion (rät linje).

Ett annat exempel på detta hade vi redan sett i Lösningen till Aktiviteten (punkt 6). Se generell sats nedan.

Derivatans allmänna definition

Derivatan av funktionen \( \, y = f\,(x) \, \) är \( \, \displaystyle f\,{\color{Red} '}(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \, \), där

\( {\color{Red} '} \; \) är symbolen för derivatan. \( \;\, f\,{\color{Red} '}(x) \; \) är en ny funktion och läses: "\( f \) prim av \( \, x \, \)" .

Som man ser är uttrycket i limes, funktionens genomsnittliga förändringshastighet \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) i intervallet mellan \( \, x \, \) och \( \, h \).

Exempel Oljetank (utvidgat)

Utströmningen av olja genom ett hål i oljetankens botten beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

a) Ställ upp funktionens genomsnittliga förändringshastighet \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) som ett uttryck i \( \, x \, \) och \( \, h \).

b) Ange derivatan av \( \, f\,(x) \, \) som en ny funktion av \( \, x \, \) genom att i \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) låta \( \, h \, \) gå mot \( \, 0 \).

Rita grafen till derivatans funktion

Lösning:

a) Vi ställer upp de deluttryck som ingår i \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, = \, {f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \, \) och förenklar dem:

\[ \begin{array}{lcl} f(x + h) & = & 4\,(x+h)^2 - 380\,(x+h) + 9\,000 = 4\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 380\,x - 380\,h + 9\,000 = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 \\ f(x + h) - f(x) & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - (4\,x^2 - 380\,x + 9\,000) = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - 4\,x^2 + 380\,x - 9\,000 \;\;\, =\\ & = & 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,h \, = \, h\,(8\,x + 4\,h - 380) \\ \displaystyle \frac{f(x + h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{h\,(8\,x + 4\,h - 380)}{h} \, = \, 8\,x + 4\,h - 380 \end{array}\]

b) Nu beräknar vi gränsvärdet:

\[ f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 \]

Vi kan sammanfatta:

Funktionen \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) har derivatan

\( \qquad\qquad\; f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \; \)

Derivatan av 2:a gradsfunktionen är en linjär funktion vilket även bekräftas av graferna.

Fil:Oljetank derivataa.jpg

För tredje gången får vi en bekräftelse på följande sats som kommer att bevisas generellt i nästa avsnitt:

Sats:

Derivatan av en andragradsfunktion är en linjär funktion.

Det första exemplet på denna sats fanns i (den genomsnittliga) hastighetsfunktionens graf till Yulias hopp från 10 m-torn, se Lösning till Aktiviteten (punkt 6).

Det andra exemplet var när vi i Derivatan som en ny funktion algebraiskt bestämde derivatan \( \, y\,' = \, 10\,x \, \) av funktionen \( \, y \, = \, 5\,x^2 \, \).

Dessutom kan vi verifiera \( f\,'(0)\):s värde som vi inledningsvis beräknade i Exempel Oljetank genom att i derivatans funktion \( f\,'(x) = 8 x - 380 \) sätta in \( \, x = 0 \) :

\[ f\,'(0) \, = \, 8 \cdot 0 - 380 \,=\, 0 - 380 \,=\, -\,380 \]

I avsnitt 2.2, Exempel 3 d) hade vi fått \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga hastigheten i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \, \) som ett närmevärde för derivatan i \( \, x = 0 \).

Detta närmevärde hade blivit ännu precisare om vi hade valt t.ex. intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \, \) eller \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,001 \, \) osv.

Det exakta värdet \( -\,380 \, \) fås genom att i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \) låta \( \, h \to 0 \).

I exemplet Oljetank är oljans utströmningshastighet derivatans fysikaliska tolkning. Men derivatan har även en geometrisk tolkning:

Från sekanten till tangenten

En rät linje som skär en kurva i två punkter kallas för sekant. En rät linje som "berör" kurvan i en punkt kallas för tangent.

Lutningen till en kurva \( \, y = f\,(x)\) i en viss punkt \( \, x = a \, \) definieras som tangentens lutning i denna punkt.

Denna lutning fås genom att först beräkna sekantens lutning och sedan låta sekanten gå över till tangenten \(-\) en gränsprocess.

Sedan kan vi med tangentens lutning samt punkten \( \, (a,\,f(a)) \, \) ställa upp tangentens ekvation.

Resultat:

Tangentens lutning i punkten \( \, x = a \, \) är derivatan av \( \, f\,(x) \, \) i denna punkt:

\( \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle f\,'(a) \, \; = \; \lim_{h \to 0}\,{f(a + h) \, - \, f(a) \over h} \)

Se Derivatan i en punkt.

Tangentens ekvation

Hur man, efter att ha bestämt tangentens lutning med hjälp av derivatan, ställer upp tangentens ekvation, är en Matte 2-uppgift som kan läsas t.ex. i Lösning till Aktiviteten, punkt 8-10: Geometrisk tolkning.