Ekvationer

<< Repetitioner

Genomgång

Högre grads- & rotekvationer

Övningar Ekvationer

1:a avsnitt: Polynom >>

Olika typer av ekvationer

\( \qquad \)

Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet.

I Matte 1-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ:

Linjära ekvationer:

\( \qquad\qquad\quad 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \)

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x\, \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x\, \) är ju samma som \( x^1\, \). Högre \( \, x\)-potenser förekommer inte i ekvationen.

I Matte 2-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:

Andragradsekvationer: \( \qquad\qquad x^2 + 6\,x - 16 = 0 \)

Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten \( x\, \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som \( x^2\, \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen. I Matte 2 har vi lärt oss att lösa 2:a gradsekvationer med följande metoder:

1) Nollproduktmeoden: \( \quad (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 \;\; \) och \( \; x_2 = 4 \). \( \quad \) Läs mer här.

2) Kvadratrotsmetoden: \( \quad x^2 - 16 \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \, = \, 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 4 \;\; \) och \( \; x_2 = -4 \).

3) pq-formeln:

Normalformen \(x^2 + p\,x + q = 0\,\) till en 2:a gradsekvation kan lösas med pq-formeln\[ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\]

4) Vietas formler. Vi repeterar här denna metod i detalj:

Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen

Uppgift:

Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är \( \, x_1 = 2 \, \) och \( \, x_2 = 3 \).

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( \, x_2\,\) av 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) gäller

Vietas formler:

\( \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \) \( \quad {\rm Dvs:} \quad \) \( \begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\ 2 \cdot 3 & = 6 = q \end{align} \) \( \quad {\rm och:} \quad \) \( \begin{align} p & = -5 \\ q & = 6 \end{align} \)

Därmed blir 2:a gradsekvationen:

\[ \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 \]

</div></td>

\( \qquad \)</td>

Kontroll och jämförelse med p-q-formeln:

\[\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 2 \end{array}\]</td>

</tr> </table>

Uppgiften ovan är bara en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.

Detta ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter:

Vietas formler

Om 2:gradsekvationen \( \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; \) har lösnin-

garna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller: \( \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \)

Bevis med p-q formeln

2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0\,\) har enligt pq-formeln lösningarna \( \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)

Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:

\( \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p\)

Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.

Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:

\( \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q \)

Omformningen kring \( \color{Red} = \) sker enligt konjugatregeln \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \) om vi sätter \( \displaystyle a = -\frac{p}{2} \) och \( \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\).

Detta bevisar Vietas andra formel.

Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter

Lösningarna \( \, x_1\, \) och \( \, x_2\, \) till 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, \) är nollställena till 2:gradspolynomet:

\[ x^2 + p\,x + q \]

Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform \( \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 \]

Därav följer: \( \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom Polynom i faktorform och/eller Jämförelse av koefficienter.

Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än \(2\) och formuleras för polynom av grad \(n\).

Den franske matematikern François Viète var en av de första som på \(1500\)-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen.

Därför kallas formlerna efter honom.

Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)

Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.

Exempel 1:

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 \)

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) eftersom \( \, 2 + 5 = 7\, \) och \( \, 2 \cdot 5 = 10 \).

Kontrollen bekräftar resultatet:

\[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]

\[ 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \]

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det:

\[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.

Exempel 2

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 \)

Lösning:

Vietas formler ger:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 4\,\) och \( x_2 = 4\,\) eftersom \( 4 + 4 = 8\,\) och \( 4 \cdot 4 = 16 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 8\,x + 16 \) faktoriseras så här:

\[ x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 \]

Den dubbla förekomsten av faktorn \( (x-4)\,\) ger roten, dvs lösningen \( x = 4\,\), dess namn dubbelrot.

Nackdelen med Vieta

En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:

\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]

Vietas formler ger:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]

Det är inte så enkelt att få fram lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer.

Med p-q formeln får man (se lösningen till övning 10 b)):

\[\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}\]

I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella:

\[ \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}\]