1.6 Lösning 7
Saldot efter 2 år \( = 40\,000 \cdot (1,08)^2 = 46\,656 \)
Det andra belopp som sattes in \( = {3\over 5} \cdot 40\,000 = {3 \cdot 40\,000 \over 5} = 3 \cdot 8\,000 = 24\,000 \)
- \[ x\, \] = Antal år efter den andra insättningen
- \[ y\, \] = Aktuellt belopp på kontot
Modellen:
\[ y = (46\,656 + 24\,000) \cdot (1,08)^x \]
\[ y = 70\,656 \cdot (1,08)^x \]
Ekvationen:
\[ 100\,000 = 70\,656 \cdot (1,08)^x \]
Lösningen\[\begin{align} 70\,656 \cdot (1,08)^x & = 100\,000 & &\;| \; /\,70\,656 \\ (1,08)\,^x & = 1,4153 \quad & &: \;\text{Skriv 1,08 och 1,4153 som 10-potenser} \\ (10^{\lg(1,08)})\,^x & = 10^{\lg (1,4153)} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL} \\ 10^{x \cdot \lg(1,08)} & = 10^{\lg (1,4153)} \\ \end{align}\]
När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra:
- \[\begin{align} x \cdot \lg(1,08) & = \lg (1,4153) \\ x & = {\lg (1,4153) \over \lg(1,08)} \\ x & = 4,5133 \end{align}\]
För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:
- \[ 0,5133 \cdot 12 = 6,1594 \]
Detta blir avrundat 6 månader. Därför:
Startkapitalet kommer att fördubblas efter \( 11\, \) år (och 0 månader).
