2.6 Derivatan av exponentialfunktioner

Innehåll

1 Derivatan av den naturliga exponentialfunktionen
2 Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen
3 Uppdaterad tabell över deriveringsregler
4 Internetlänkar

Derivatan av den naturliga exponentialfunktionen

I detta avsnitt kommer vi att ställa upp deriveringsregeln för den s.k. naturliga exponentialfunktionen, dvs \( y = e\,^x \) med basen \( e = 2,718281828\cdots \) (Eulers tal).

För att kunna göra det gör vi ett (misslyckat) försök att med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \). Det misslyckade försöket kommer att leda oss till frågeställningen:

Kan basen i den allmänna exponentialfunktionen väljas så att derivatan av \( y = a\,^x \) blir så enkel som möjligt, nämligen \( y\,' = a\,^x \)?

I matematikens historia har denna frågeställning motivertat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för talet \( e\, \). På 1700-talet bevisade han att detta tal just var \( e\, \) som sedan dess kallas för Eulers tal. Vi försöker här att följa hans bevis.

Fil:ExpDeriv1 40c.jpg

Fil:ExpDeriv2 50.jpg

Fil:ExpDeriv3 50.jpg

Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen

Från att ha ställt upp deriveringsregeln för den naturliga exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):

Fil:ExpDeriv4 50a.jpg

Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för den naturliga exponentialfunktionen.

Uppdaterad tabell över deriveringsregler

I följande tabell är \( c,\,k,\,m,\,n,\,a \) konstanter, medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler.

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( k\cdot x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
\( {1 \over x} \)	\( - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( e\,^x \)	\( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \)	\( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( c\cdot e\,^{k\,x} \)	\( c\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \)	\( a\,^x \cdot \ln a \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte D-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler och fler generella satser.