2.5 Övningar till Deriveringsregler
| Teori | Övningar |
Anta alltid \( y = f(x)\, \).
G-övningar: 1-6
Övning 1
Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( y = -8\, \)
b) \( y = 12\,x + 7 \)
c) \( y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 \)
d) \( y = x\, \)
e) \( y = - x\, \)
f) \( y = x + 6\, \)
g) \( y = - x + 25\, \)
Hämtar...Alternativt:
Övning 2
Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( y = {x \over 2} \)
b) \( y = 0,2\,x^5 + x \)
c) \( y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25 \)
d) \( y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5} \)
e) \( y = 15 - {x + 3 \over 2} \)
f) \( y = (3\,x - 5)^2 \)
Alternativt:
- Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d | Lösning 2d | Svar 2e | Lösning 2e | Svar 2f | Lösning 2f
Övning 3
Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( y = {2 \over x} \)
b) \( y = -{3 \over x} + \sqrt{5} \)
c) \( y = 6 - 2\,\sqrt{x} \)
d) \( y = 7\,x^4 - {25 \over x} \)
e) \( y = {1 \over x^2} \)
f) \( y = {1 \over \sqrt{x}} \)
Alternativt:
- Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c | Svar 3d | Lösning 3d | Svar 3e | Lösning 3e | Svar 3f | Lösning 3f
Övning 4
Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( y = {x^2 + 3 \over x} \)
b) \( y = {x^2\,\sqrt{x}\over 5} \)
c) \( y = {2 \over 3}\,x\,\sqrt{x} - {1 \over x^2} \)
d) Beräkna \( f\,'(4)\, \) om \( f(x) = x^3 + {\sqrt{x} \over 2} \) med 3 decimaler.
e) Beräkna \( f\,'(1)\, \) om \( f(x) = {x^3 + x^2 + x - 1 \over x} \).
Alternativt:
- Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b | Svar 4c | Lösning 4c | Svar 4d | Lösning 4d | Svar 4e | Lösning 4e
Övning 5
I det introducerande avsnittet Vad är derivatan? sysslade vi med följande aktivitet:
Lisa tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen
- \[ y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\, \]
där \( y\, \) är Lisas höjd över vattnet (i meter) och \( x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).
Hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.
a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av \( f(x)\, \).
b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken hastighet Lisa slår i vattnet?
Övning 6
Följande parabel är given:
- \[ y = x^2 + 5\,x - 8 \]
a) Vilken lutning har parabeln i punkten \( x = 1\, \)?
b) Ange ekvationen för tangenten till parabeln i denna punkt.
c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.
VG-övningar: 7-8
Övning 7
Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan
- \[ y = x^2 + 5 x - 1\, \]
i punkten \( x = -1\, \) .
Alternativt:
Övning 8
I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell
- \[ y = 2\,x^4 + 2\,500 \]
där x är tiden i timmar.
Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara \( 1\,000 \) bakterier per timme?
Alternativt:
MVG-övningar: 9-10
Övning 9
För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) går kurvan
- \[ y = a\,x^2 + b\,x \]
genom punkten \( (1, -1)\, \) och har där lutningen \( 4\, \) ?
Alternativt:
Övning 10
Kurvan
- \[ y = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]
har en tangent som är parallell till den räta linjen \( y = x - 4\, \).
a) Rita kurvan.
b) Bestäm tangeringspunktens x- och y-koordinat.
c) Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan i tangeringspunkten.
d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som kurvan.
Alternativt:
- Svar 10a | Svar 10b | Lösning 10b | Svar 10c | Lösning 10c | Svar 10d
Facit till övningar i deriveringsregler
1a
\( y\,' = 0 \)
1b
\( y\,' = 12 \)
1c
\[ y\,' = 8\,x - 25 \]
1d
\( y\,' = 1 \)
1e
\( y\,' = -1 \)
1f
\( y\,' = 1 \)
1g
\( y\,' = -1 \)
2a
\( y\,' = {1 \over 2} \)
2b
\( y\,' = x^4 + 1 \)
2c
\( y\,' = x - {3 \over 4} \)
2d
\( y\,' = {8 \over 5}\,(x - 1) \)
2e
\( y\,' = - {1 \over 2} \)
2f
\( y\,' = 18\,x - 30 \)
3a
\( y\,' = -{2 \over x^2} \)
3b
\( y\,' = {3 \over x^2} \)
3c
\( y\,' = -{1 \over \sqrt{x}} \)
3d
\( y\,' = 28\,x^3 + {25 \over x^2} \)
3e
\( y\,' = -\,{2 \over x^3} \)
3f
\( y\,' = -{1\over 2\,x\,\sqrt{x}} \)
4a
4b
\( 0\,\)
4c
\( 4\,\)
4d
\( 0\, \)
4e
För funktionen
\[ y = f(x) = 4\, \]
överensstämmer den genomsnittliga förändringshastigheten med den exakta derivatan. Båda är \( 0\, \) .
Första slutsatsen kan vara att en konstants derivata alltid är \( 0\, \). Dock måste detta bevisas generellt.
Andra slutsatsen kan vara att för konstanta funktioner den genomsnittliga förändringshastigheten överensstämmer med den exakta derivatan. Även detta måste bevisas generellt.
5a
\( -180\, \)
5b
10 minuter
6a
\( -6\, \)
7
\( 2\,a \)
8b
\( 4\, \)
Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
