1.3 Rationella uttryck

Teori

Övningar

Lektion 7 Rationella uttryck I

Lektion 8 Rationella uttryck II

Vad är ett rationellt uttryck?

Ett rationellt tal är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal, t.ex.:

\[ 3 \over 4 \]

Med andra ord är rationellt tal en annan beteckning för tal i bråkform. Alla tal vi känner till är rationella tal. Nästan alla heltal kan förekomma i täljaren och nämnaren av ett rationellt tal. Det enda undantaget är 0 i nämnaren, för division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad.

Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex.:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

Att polynomet \( x^2 - 1 \) står i nämnaren har vissa konsekvenser. Precis som hos bråk får nämnaren, som i det här fallet är polynomet \( x^2 - 1 \), inte vara 0. I vårt exempel innebär det att x varken får vara 1 eller -1, för då blir nämnaren, dvs polynomet \( x^2 - 1 \):s värde, 0 och därmed odefinierat. Följaktligen blir även hela uttryckets värde odefinierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla x utom för \( x = 1 \) och \( x = -1 \).

Man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange t.ex. ett tal som löser ekvationen:

\[\begin{align} 4 \cdot x & = 3 \\ x & = {3 \over 4} \\ \end{align} \]

Det sökta talet blir då just det rationella tal (bråk) ovan som inte längre är ett heltal.

På liknande sätt utvidgar man polynombegreppet till rationella uttryck för att kunna ange t.ex. ett uttryck R(x) som löser ekvationen:

\[\begin{align} (x^2 - 1)\cdot R(x) & = 6\,x \\ R(x) & = {6\,x \over x^2 - 1} \\ \end{align} \]

Det sökta uttrycket R(x) blir då just det rationella uttryck ovan som inte längre är ett polynom. Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inget polynom utan ett rationellt uttryck, precis som division av två heltal i regel inte ger ett heltal, utan ett rationellt tal (bråk).

Övergången från polynom till rationella uttryck är i många avseenden jämförbar med övergången från heltal till rationella tal. Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till det här exemplet utan går mycket längre. Den är både intressant ur teoretiskt perspektiv och nyttig ur praktsik synvinkel. Vi kommer att se att den hjälper oss att räkna med rationella uttryck.

Rationella funktioner

Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att skriva dem som funktioner vilket är enkelt gjort genom att tilldela dem en annan variabel, t.ex. y:

\[ y = {6\,x \over x^2 - 1} \]

En rationell funktion är kvoten mellan två polynom som tilldelas en variabel y. T.ex. ger det rationella uttryck som nämndes i förra avsnitt upphov till den rationella funktionen ovan. Både täljaren och nämnaren är polynom. Av samma skäl som nämndes för uttrycket är denna funktion definierad för alla x utom för \( x = 1 \) och \( x = -1 \).

Fördelen med funktioner är är att man kan visualisera dem med grafer. Vi ska använda detta enkla verktyg för att studera egenskaperna hos rationella uttryck. Innan vi ritar grafen till den rationella funktionen ovan ska vi titta på ett enklare exempel.

Exempel 1

Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:

\[ 1 \over x \]

Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Uttrycket ger upphov till den rationella funktionen

\[ y = {1 \over x} \]

\( y = 1/x \) har nämligen en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:

Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är kontinuerlig. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i x = 0. Man säger att funktionen är icke-kontinuerlig i x = 0.

Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen \( y = 1/x \) inte har något värde för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därmed odefinierad. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen \( y = {1/x} \) är inte definierad för x = 0. Man måste undanta x = 0 från funktionens definitionsmängd\[ y = {1/x} \] är definierad för alla x utom för x = 0.

Icke-definierbarheten och diskontinuiteten för vissa x är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla x.

Exempel 2

Genom att understryka orden för vissa x i exemplet 1 ovan vill vi säga att det är bara några isolerade x-värden för vilka en rationell funktion kan vara odefinierad. Antalet sådana x-värden kan hos rationella funktioner vara 0, 1, 2, \(\ldots\). Antalet 0 innebär att det även finns rationella funktioner som inte har några x för vilka de är odefinierade, dvs de är definierade och kontinuerliga för alla x precis som vanliga polynom. Ett exempel på sådana "snälla" rationella funktioner är:

\[ y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} \]

Anledningen till att \(y_1\,\) är definierad för alla x är att funktionsuttryckets nämnare, dvs polynomet \( x^2 + 1 \) inte har några (reella) nollställen. Det i sin tur beror på att ekvationen
\( x^2 + 1 = 0 \) saknar lösning, därför att \( x^2 \) blir -1 och roten ur -1 inte kan dras. Grafen till funktionen \(y_1\,\) (övre kurvan) visar att \(y_1\,\) är definierad och kontinuerlig för alla x:

I den undre delen av bilden ovan har vi, för att kunna jämföra, även ritat grafen till en annan rationell funktion \(y_2\,\) som skiljer sig från \(y_1\,\) endast i ett förtecken i nämnaren:

\[ y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} \]

Skillnaden i ett förtecken i nämnaren räcker för att att resultera i ett helt annorlunda beteende av funktionen \(y_2\,\) jämfört med \(y_1\,\). Som grafen visar är \(y_2\,\):s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). En blick på funktionsuttrycket avslöjar detta. Här kan vi dra nytta av faktorisering som vi lärt oss i förra avsnitt. Skriver man nämnarens polynom i faktorform ser man att att \(y_2\,\) varken är definierad för \( x_1 = -1 \) eller för \( x_2 = 1 \):

\[ y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} \]

När x närmar sig -1 eller 1 går \(y_2\) mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i \( y_1 \) inte faktorisera \( x^2 + 1 \), för ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) saknar lösning. Däremot går det i \( y_2 \) att faktorisera \( (x^2 - 1) = (x + 1) \)\(\cdot\)\((x - 1)\), för ekvationen \( x^2 - 1 = 0 \) har lösningarna \( x_1 = -1 \) eller för \( x_2 = 1 \).

Att räkna med rationella uttryck

Avsikten med detta avsnitt är inte att vi ska lära oss räkna med bråktal, för det har vi (förhoppningsvis!) redan gjort i Matte A-kursen. Utan avsikten är att inse att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.

Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan medför bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck var en naturlig fortsättning av de regler som gällde för räkning med bråktal. Därför kommer vi nu, när vi går igenom dessa räkneregler, alltid inleda med en repetition av regler som gäller för räkning med bråktal för att sedan generalisera och använda samma principer på räkning med rationella uttryck.

Addition & subtraktion av bråktal

Vi tittar först på addition & subtraktion av bråktal:

Addition & subtraktion av rationella uttryck

Vi kan nu använda samma principer för att addera och subtrahera rationella uttryck:

Exempel 3

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \]

\( {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 2\,x \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} 2\,x} \over 3\,x \cdot {\color{Red} 2\,x}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \)

Exempel 4

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \]

\( {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} 2\,x^2} \over 12\,x \cdot {\color{Red} 2\,x^2}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \)

Exempel 5

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \]

\( {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \)

Exempel 6

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \]

\( {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \)

\( = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} (x+2)}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} (x+2)}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \)

\( = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \)

\( = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \)

Multiplikation & division

Även här ska vi först påminna om multiplikation och division av bråktal för att sedan gå över till rationella uttryck:

Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter

Vi har hittills använt bråktalens räkneregler för att räkna med rationella uttryck utan att stöta på några hinder. Men vi får inte glömma att rationella uttryck ändå är komplexare objekt. Därför är det inte förvånansvärt att de har egenskaper som inte längre kan jämföras med motsvarigheter hos bråktal. En av dessa visas upp när man förkortar dem efter faktorisering av täljaren och nämnaren.

Efter faktorisering av täljaren och nämnaren samt förkortning med faktorn \( (x+3)\, \) förenklas det rationella uttrycket väsentligt. Men denna förkortning är endast korrekt om \( x \not= -3 \) eftersom förkortning med \( (x+3)\,\) innebär division med 0 om \( x = -3\, \). Likhetstecknet mellan de rationella uttrycken gäller endast under förutsättningen \( x \not= -3 \). Det enklare uttrycket är identiskt med det ursprungliga inte för alla x utan för alla utom för \( x = -3\, \). Det blir ännu tydligare när vi betraktar dem som rationella funktioner. Då uppsår nämligen frågan: Vad händer med diskontinuiteten i \( x = -3 \) som försvinner efter att vi förkortat uttrycket med faktorn \( (x+3) \)? Och vad är det för skillnad mellan diskontinuiteterna i \( x = -3 \) och \( x = 3 \)? För att undersöka dessa frågor skriver vi dem som funktioner och ritar båda funktioners grafer:

\[\begin{align} y_3 & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,(x + 3) \over (x + 3)\,(x - 3)} \\ \\ y_4 & = {2\,x \over x - 3}\end{align} \] Fil:Vit 5,64cm.jpg Fil:14ay Förkort Förläng 2 1 disk.jpg

I den vänstra delen av bilden ser man grafen till funktionen \( y_3\,\) och i den högra delen grafen till funktionen \( y_4\,\). Till synes visar resultatet helt identiska kurvor. Men i själva verket vet vi att funktionen \( y_3 \) inte är definierad för \( x = -3 \) och har en diskontinuitet där. Därför har dess graf (kurvan till vänster) ett "hål" eller en "lucka" i \( x = -3 \) som man inte ser. Så grafen lurar oss. Vi måste hålla oss till \( y_3 \):s funktionsuttryck ovan som klart visar två diskontinuiteter, en i \( x = -3 \) och den andra i \( x = 3 \). Den första som vi lyckades få bort genom förkortning, är en s.k. hävbar diskontinuitet medan den andra är icke-hävbar. Utan att gå närmare in på detta (överkurs) kan vi bara säga att hävbara diskontinuiteter är sådana som är "snälla" och kan repareras. I det här fallet skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( y_3 \):s definition med att \( y_3 \) ska vara 1 för \( x = -3 \). Man kan nämligen visa att \( y_3 \) går mot ett ändligt värde när x går mot -3 båda från vänster och höger. Vi behöver inte genomföra beviset utan kan nöja oss med att förkorta uttrycket med faktorn \( (x+3) \). Att det ändliga värdet, det s.k. gränsvärdet, blir 1 kan vi få fram genom att beräkna värdet av \( y_4 \) för \( x = -3 \):

\[ y_4 (-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]

Då är det möjligt att definiera en ny funktion \( \tilde{y}_3 \) som är lite modifierad gentemot \( y_3\, \). Modifikationen består i att lägga till värdet 1 i den nya funktionen för \( x = -3 \) så att den blir både definierad och kontinuerlig för \( x = -3 \). Annars är den identisk med \( y_3\, \). Så här brukar man definiera den nya funktion \( \tilde{y}_3 \):

\[\tilde{y}_3 = \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} &, \text{om}\; x \neq -3 \\ \\ \quad 1 &, \text{om}\; x = -3 \end{cases}\]

Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla x utom \( x = -3 \) definieras funktionen \( \tilde{y}_3 \) enligt det rationella uttrycket för \( y_3\, \), medan för \( x = -3 \) har den värdet 1. \( \tilde{y}_3 \) kallas den kontinuerliga fortsättningen av \( y_3 \). Den är lämpligare att användas istället för \( y_3 \) eftersom man hat lyckats att eliminera åtminstone den hävbara diskontinuiteten.

Den andra faktorn \( (x-3) \) i \( y_3 \):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten av \( y_3 \) i \( x = 3 \). Denna diskontinuitet är dock inte hävbar. I \( x = 3 \) går \( y_3 \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten när x går mot 3. Därför är diskontinuiteten i \( x = 3 \) kvar och synlig i graferna av både \( y_3 \) och \( y_4 \). Den är, till skillnad från den första, en icke-hävbar diskontinuitet och kan inte repareras på något sätt. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \tilde{y}_3 \) och är icke-hävbar även där.

Internetlänkar

http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx

http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel

http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related

Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.