1.8 Lösning 8

15)   a)

"Efter 5 år är bilen 100 000 kr värd" betyder att värdet \( y \) är \( 100\,000 \) för \( x=5 \):

\[\begin{align} y \, = \, 225\,000\;e\,^{-k\,\cdot\,5} & \; = \; 100\,000 \quad & &\,| \; / \; 225\,000 \\ e\,^{-5\,k} & \; = \; {100\,000 \over 225\,000} \\ e\,^{-5\,k} & \; = \; 0,44444444 \quad & &\,| \; \ln\,(\;\;) \\ \ln\,(e\,^{-5\,k})& \; = \; \ln\,0,44444444 \quad & &\,: \;\text{Inversegenskapen av ln och e} \\ -\,5 \, k & \; = \; -0,81093022 \\ k & \; = \; {-0,81093023 \over -5} \\ k & \; = \; 0,162\,186\,05 \end{align}\]       b)

"Bilens nyvärde" betyder:   \( x = 0 \) och

\[ {\color{White} x} y \, = \, 225\,000\;e\,^{-k\,\cdot\,0} \, = \, 225\,000\;e\,^0 \, = \, 225\,000\cdot 1 \, = \, 225\,000 \]

\( 10 \% \) av bilens nyvärde \( = 225\,000 \cdot 0,10 = 22\,500 \).

"Tills bilens värde har sjunkit till \( 10 \% \) av nyvärdet" betyder att värdet \( y \) är \( 22\,500 \):

\[\begin{align} y \, = \, 225\,000\;e\,^{-k\,\cdot\,x} & \; = \; 22\,500 \quad & &\,| \; / \; 225\,000 \\ e\,^{-k\,\cdot\,x} & \; = \; {22\,500 \over 225\,000} \\ e\,^{-k\,\cdot\,x} & \; = \; 0,1 \quad & &\,| \; \ln\,(\;\;) \\ \ln\,(e\,^{-k\,\cdot\,x})& \; = \; \ln\,0,1 \quad & &\,: \;\text{Inversegenskapen av ln och e} \\ -k\,\cdot\,x & \; = \; \ln\,0,1 \quad & &\,| \; / \; (-k) \\ x & \; = \; {\ln\,0,1 \over -k} \quad & &\,:\;k = 0,162\,186\;\text{ från a)}\\ x & \; = \; {-2,302\,585 \over -0,162\,186} \\ x & \; = \; 14,20 \\ \end{align}\]

Efter \( 14,20 \) år har bilens värde sjunkit till \( 10 \% \) av nyvärdet, dvs efter \( 14 \) och \( 0,20 \) år.

Men \( 0,20 \) år \( = 0,20 \cdot 12 \) månader \( = 2,4 \) månader. Därför:

Efter \( 14 \) år och \( 3 \) månader har bilens värde sjunkit till \(-\) närmare bestämt under \( 10 \% \) av nyvärdet.