2.5 Fördjupning till Deriveringsregler

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt -->

Lektion 26 Deriveringsregler I

Lektion 27 Deriveringsregler II

Bevis av deriveringsreglerna

I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och (delvis) bevisa regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. De kallas deriveringsregler. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man använda reglerna i fortsättningen utan att behöva härleda dem.

I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en tabell som vi kommer att använda hela tiden.

Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i Matte 3c-kursens övningar.

I förra avsnitt hade vi ställt upp derivatans definition för en funktion \( y = f(x)\, \) i en viss punkt \( x = a\, \). Låter vi \( a\, \) variera, kan vi skriva derivatans definition så här:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]

Denna definition kommer att ligga till grund för alla våra bevis för deriveringsreglerna i detta avsnitt.

Derivatan av en konstant

Påstående:

Derivatan av en konstant är 0.

Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]

Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man preciserar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) genom att betona för alla \( {\color{Red} x} \). Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \) i \( \,f(x)\). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]

Derivatan av en linjär funktion

Påstående:

Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]

Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]

Derivatan av en kvadratisk funktion

Påstående:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.

Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)

Bevis:

Först ställer vi upp de uttryck som förekommer i derivatans definition.

För att ställa upp \( f\,(x+h) \) ersätter vi \( x\, \) med \( x+h\, \) i funktionen \( f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \) :

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & a\,(x+h)^2 + b\,(x+h) + c & = \\ & = & a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) + b\,x + b\,h + c & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - (a\,x^2 + b\,x + c) & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ & = & 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h & = \\ \end{array}\]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h \over h} = {h\cdot (2\,a\,x\ + a\,h + b) \over h} = 2\,a\,x\ + a\,h + b \]

Sedan tillämpar vi derivatans definition genom att bilda gränsvärdet:

\[ f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b \]

Exempel:

För funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) bildas derivatan steg för steg med hjälp av derivatans definition:

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & 5\,(x+h)^2 - 3\,(x+h) + 6 & = \\ & = & 5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 3\,x - 3\,h + 6 & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - (5\,x^2 - 3\,x + 6) & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - 5\,x^2 + 3\,x - 6 & = \\ & = & 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h & = \\ \end{array}\]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 \]

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 \]

Derivatan av \( \displaystyle {1 \over x} \)

Påstående:

Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)

då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)

Bevis (med derivatans definition):

\[ f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} \]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} \]

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} \]

Alternativt (med deriveringsregeln för potenser):

\[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]

\[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]

Derivatan av \( \sqrt{x} \)

Påstående:

Om \( f(x) \; = \; \sqrt{x} \)

då \( f\,'(x) \; = \; {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)

Bevis (med deriveringsregeln för potenser):

\[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]

\[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]

Derivatan av ett polynom

Hittills har vi betraktat isolerade termer. Men hur blir det om de summeras med varandra och på så sätt sammansätts till ett polynom?

Exempel:

För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]

Sats:

En polynomfunktion deriveras termvis, dvs:

Om \( f(x) = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a \)

då \( f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 \)

Exempel:

För polynomfunktionen \( f(x) = {1 \over 2}\,x^4\,+\,{5 \over 6}\,x^3\,-\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x + 12 = 2\,x^3 + {5 \over 2}\,x^2 - 1,6\,x + 12 \]