1.3 Rationella uttryck

Vad är rationellt?

Ett rationellt tal är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal. T.ex. är \( 3 \over 4 \) ett rationellt tal som därmed visar sig vara en annan beteckning för tal i bråkform.

Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex. \( 6\,x \over x^2 - 1 \). Precis som hos bråk får nämnaren \( x^2 - 1 \) inte vara 0, vilket i vårt exempel innebär att x varken får vara 1 eller -1, för då blir det rationella uttryckets nämnare 0 och därmed dess värde odefinierat. Division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad.

En rationell funktion är kvoten mellan två polynomfunktioner, t.ex. \( y = {6\,x \over x^2 - 1} \). Av samma skäl som ovan är denna funktion varken definierad för x = 1 eller för x = -1.

Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen \( 4 x = 3 \), utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. Division är just den operation vi inte kan genomföra med polynom. Dvs till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom, utan ett rationellt uttryck.

Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal inte heller alltid får ett heltal utan ett rationellt tal (bråk) som t.ex.:

\[ 3 \over 4 \]

Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till detta exempel utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen. Avsikten med detta avsnitt är inte att vi ska lära oss räkna med bråktal, för det har vi (förhoppningsvis!) redan lärt oss i Matte A-kursen. Utan avsikten är att vi får se att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.

Ett enkelt exempel

Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:

\[ 1 \over x \]

Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Intressant är nu att den rationella funktionen

\[ y = {1 \over x} \]

har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:

Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är kontinuerlig. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande i x = 0. Man säger att den är icke-kontinuerlig i x = 0.

Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen \( y = {1/x} \) inte är definierad för x = 0. Därför har funktionen \( y = 1/x \) inget värde för x = 0. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen.

Diskontinuiteten för vissa x-värden är något typiskt för rationella funktioner och det är den som skiljer dem från polynomfunktioner.