2.5 Lösning 7

Att bestämma \( C \, \):

\[ \begin{array}{rcl} B\,(t) & = & C \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]

"I början mättes \( 150\, \) bakterier i mjölken" innebär:

\[ \begin{array}{rcrcl} B(0) & = & C \cdot e\,^{k\,\cdot\, 0} & = & 150 \\ & & C \cdot e\,^{0} & = & 150 \\ & & C \cdot 1 & = & 150 \\ & & C & = & 150 \end{array}\]

Att bestämma \( k \, \):

\[ \begin{array}{rclcl} B\,(t) & = & 150 \cdot e\,^{k\,t} & & \\ B\,'(t) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} & & \\ \end{array}\]

"Efter \( 8\, \) timmar förökar sig bakterierna med \( 350\, \) i timmen" innebär:

\[ \begin{array}{rcrcl} B\,'(8) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\, 8} & = & 350 \\ & & 150 \cdot k \cdot e\,^{8\,k} & = & 350 \\ & & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {350 \over 150} = {7 \over 3} \\ & & k & = & {5 \over 50} \\ & & k & = & 0,1 \end{array}\]

Att specificera \( f(x) \, \):

\[ f(x) \, = \, 50 \, e\,^{0,1\,x} \]