2.5 Lösning 8

Vi sätter \( t = 0 \, \) vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till \( T_0 = 31\, \). Med rumstemperaturen till \( T_r = 18\, \) blir modellen:

\[ \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ T\,(t) & = & (31 - 18)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \\ T\,(t) & = & 13 \cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \end{array}\]

Vi bestämmer \( k \, \):

\[ \begin{array}{rcl} T\,'(t) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]

"Kroppstemperaturen minskade med 0,07 grader i timmen vid kl 21" innebär:

\[ \begin{array}{rcrcl} T\,'(60) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\,60} & = & -\,0,07 \\ & & 13 \cdot k \cdot e\,^{60\,k} & = & -\,0,07 \\ & & 13\,k\,e\,^{60\,k} \,+\, 0,07 & = & 0 \end{array}\]

För att lösa ekvationen ovan för \( k\, \) används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 13\,x\,e\,^{60\,x} + 0,07 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,0,01 \) . Enligt instruktionerna i EQUATION SOLVER får vi med detta startvärde följande lösning:

\[ x \,=\, -\,0,0095501058\ldots \,=\, k \]

Med detta värde för \( k\, \) specificerar vi vår modell:

\[ T\,(t) \, = \, 13 \, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \]

+++ "Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier nått \( 2\,000 \)?" innebär att lösa följande ekvation för \( t\, \) :

\[ 150 \, e\,^{0,2697122\,t} \, = \, 2\,000 \]

Grafräknaren används. Ett startvärde erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx 10 \). Med detta startvärde får vi i räknarens EQUATION SOLVER följande lösning till ekvationen \( 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \,=\, 0 \):

\[ x \,=\, 9,603819\ldots \]

"Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit \( 2\,000 \)?" innebär att ange tiden \( t\, \) t.ex. med

\[ t \,=\, 9,60382 \;\, {\rm timmar} \]

Den decimala bråkdelen omvandlas från timmar till minuter\[ t = 9,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382 \cdot 60 \; {\rm min } \;=\; 9\;{\rm h } + 36,23 \; {\rm min } \]

Antalet bakterier har säkert överstigit \( 2\,000 \) och mjölken har blivit sur efter

\[ 9\;{\rm timmar\;och\;} 37\;{\rm minuter} \]