2.6 Lösning 4c

Året \( \,2000 \) motsvarar \( {\color{White} x} x = 100 {\color{White} x} \) i funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) \). Därför:

Tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år \( 2000 \; = \; f\,'(100) \).

Eftersom \( \,2000 \) är slutet av tabellen och vi inte har någon information om Sveriges befolkning efter \( \,2000 \) måste vi välja bakåtdifferenskvoten för att beräkna derivatan. Som steglängd väljer vi tabellens minsta steg \( 10\, \). I formeln för bakåtdifferenskvoten \( f\,'(a) \approx \displaystyle {f(a) - f(a-h) \over h} \) sätts in \( {\color{White} x} a = 100 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} h = 10\):

\[ f\,'(100) \approx {f(100) - f(100-10) \over 10} = {f(100) - f(90) \over 10} \]

\( x = 90 \) motsvarar år \( \,1990 \) i tabellen. Från tabellen läser vi av \( f(100) = 8\,983 \) och \( f(90) = 8\,654 \). Därför:

\[ f\,'(100) \approx {f(100) - f(90) \over 10} = {8\,983 - 8\,654 \over 10} = {329 \over 10} = 32,9 \]

Eftersom befolkningens enhet i tabellen är tusental växer Sveriges befolkning år 2000 med \( 32\,900 \) personer per år.