3.2 Lokala maxima och minima

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion xx Maxima och minima

Derivatans nollställen och andraderivatans förtecken

Det är derivatans nollställen och och andraderivatans förtecken som avgör för vilka \(\, x \) en funktion har största (maxima) och minsta värden (minima).

:

Regler om maxima och minima:

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett maximum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)

---

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett minimum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. \)

Där derivatan är \(\, 0 \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.

Där derivatan är \(\, 0 \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum.

Vad som händer när både första och andraderivatan är \( \, = \, 0 {\color{White} x} \) behandlas senare.

I grafen till exemplet nedan (Vinternattens kallaste tidpunkt) visas en funktion som har ett minimum. Men hur avgörs detta algebraiskt och hur beräknas för vilket \(\, x \) detta minimum antas?

Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \( {\color{White} x} \; y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \) där   \( y \; = \)   temperaturen i grader Celsius och         \( x \; = \)   tiden i timmar efter midnatt Funktionen \(\, f(x)\):s   definitionsområde: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \) a)   Bestäm nattens kallaste tidpunkt. b)   Bestäm nattens lägsta temperatur. c)   Visualisera dina resultat från a) \( - \) c) i lämpliga grafer. Tolka dina resultat med hjälp av graferna.

Fil:Ex 1 Vinternattens kallaste tidpunkt.jpg

Lösning:

a)   För att kunna använda reglerna ovan måste vi bilda derivatan:

\[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]

\[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]

  Vi vet att derivatan \( f' \, \) byter förtecken från \( - \) till \( + \) mellan kl 4 och 7, dvs någon gång mellan kl 4 och 7 - vi vet inte än när, därför ? - måste derivatan vara \( 0 \, \), eftersom \( f'(x) \, \) är en kontinuerlig funktion och måste, för att byta förtecken, gå genom \( 0 \, \):

\[ f'(4) \, < \, 0 \]

\[ f'(?) \, = \, 0 \]

\[ f'(7) \, > \, 0 \]

Detta innebär att temperaturen \( f(x) \, \) byter från att avta till att växa. Härav följer att temperaturen når sitt lägsta värde någon gång mellan kl 4 och 7. Vid denna tidpunkt som är okänd måste derivatan vara \( = \, 0 \). För att få reda på denna tidpunkt sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar tidpunkten \( x \, \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & {2,4 \over 0,48} \\ & & x & = & 5 \end{array}\]

      Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl 5.

b)   Temperaturen vid kl \( 5 \, \) är:

\[ f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]

      Alltså är nattens lägsta temperatur 1 grad Celsius.

c)   På bilden till vänster är kurvan \( {\color{White} x} f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 {\color{White} x} \) samt tangenterna till den i \( x = 2 \, , \; x = 5 \) och \( x = 7 \, \) ritade i samma koordinatsystem.

      Till höger visas grafen till derivatan \( {\color{White} x} f'(x) = 0,48\,x - 2,4 {\color{White} x} \) som är en rät linje i ett annat koordinatsystem:

På bilden till vänster ser man att temperaturen \( f(x) \, \) sjunker från 7 grader Celsius vid midnatt till 1 grad vid kl 5 på morgonen. I hela detta tidsintervall avtar \( f(x) \, \) vilket innebär att derivatan \( f'(x) \, \) är negativ. Ett exempel på det är \( f'(2) = -1,44\, \), dvs tangenten till kurvan i \( x = 2 \, \) har negativ lutning: \( f' < 0\, \).

Vid kl 5 på morgonen har temperaturen \( f(x) \, \) nått sitt minimum på 1 grad Celsius vilket innebär att derivatan \( f'\, \) i denna punkt är 0, dvs tangenten till kurvan i derivatan \( f'(x) \, \) har lutningen 0: \( f'(5) = 0\, \).

Sedan stiger temperaturen \( f(x) \, \) från 1 grad Celsius vid kl 5 till lite under 4 grader Celsius vid kl 8 på morgonen. I hela detta tidsintervall växer \( f(x) \, \) vilket innebär att derivatan \( f'(x) \, \) är positiv. Ett exempel på det är \( f'(7) = 0,96\, \), dvs tangenten till kurvan i \( x = 7 \, \) har positiv lutning: \( f' > 0\, \).

På bilden till höger är endast grafen till derivatan \( f\,'(x) \, \) avbildad. Man ser att den är negativ för alla värden \( x < 5 \, \) och positiv för alla värden \( x > 5 \, \). I \( x = 5 \, \) skär grafen \( \, x-\)axeln, dvs derivatan är 0 \( - \, \) allt i överensstämmelse med resultaten från \( f(x) \, \) på den vänstra bilden. Att grafen till derivatan är en rät linje beror på att den ursprungliga funktionen \( f(x) \, \) är en 2:a gradsfunktion.