3.2 Lösning 5b
Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek och omnumrerade:
- \[ \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\ x_3 & = & 2 \end{array}\]
Lösning med regler om maxima och minima med andraderivata:
- \[ \begin{array}{rcl} f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \\ f'(x) & = & x^3 - 4\,x \\ f''(x) & = & 3\,x^2 - 4 \end{array}\]
Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = -2 \)
\( f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( x_1 = -2 \, \).
Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = 0 \)
\( f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( x_2 = 0 \, \).
Nollställe 3: \( {\color{White} x} x_3 = 2 \)
\( f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( x_3 = 2 \, \).
Alla extrempunkter:
\( x_1 = -2 \, \) är en minimipunkt.
\( x_2 = 0 \, \) är en maximipunkt.
\( x_3 = 2 \, \) är en minimipunkt.
Att dessa är alla extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom som enligt Algebrans fundamentalsats inte kan ha fler än 3 nollställen.
