Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata

Uppgift 1

Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 9\,x \, + \, 8 \)

Uppgift 2

Vad blir \( \; f\,'(-3) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \,\displaystyle{\frac{2\,x\,^4}{9} + \frac{x\,^3}{3}} \)

Uppgift 3

Ställ upp derivatan \( \; f\,'(x) \; \) om \( \qquad f(x) \, = \,\displaystyle{2\,x \, + \, \frac{1}{x}} \)

Uppgift 4

Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \,\displaystyle{\frac{5\,x}{12}\; + \;\sqrt x} \)

Uppgift 5

Vad blir \( \; f\,'(1) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, 5\,e\,^x \, - \, 3 \, e^{-4\,x} \)

Uppgift 6

För vilket x antar derivatan av följande funktion värdet \( \, 17 \, \)?

\[ y\; = \; 6\,^x \]

Ange svaret avrundat till tre decimaler.

Uppgift 7

Ställ upp derivatan av följande funktion: \( \qquad\displaystyle{ y\,= \,\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{ - x}}}}{2} } \)

Uppgift 8

Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y \, = \, x^2 \, + \, 5\,x \, - \, 1 \]

i punkten \( \, - 1 \, \).

Uppgift 9

Temperaturen T i en kopp kaffe sjunker enligt modellen

\[ T \, = \, 70 \cdot e^{-0,034\,t} \, + \, 35 \]

där \( \, t \, \) är tiden i minuter efter att kaffet hällts i koppen.

Hur stor är avkylningshastigheten efter \( \, 10 \, \) minuter?

Ange svaret med två decimalers noggrannhet.

Uppgift 10

Vad blir \( \, f\,'(4) \, \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, \displaystyle{ x^3 \, + \, \frac{\sqrt x}{2}}\)

Ange resultatet med tre decimaler.

Uppgift 11

Befolkningen i en småstad utvecklas under åren \( \, 2\,000\)-\(2\,010 \, \)enligt modellen

\[ N \, = \, 25\,000 \cdot 0,98\,^t \]

där \( \, N \, \) är antal personer och \( \, t \, \) är tiden i år räknad från \( \, 2\,000 \, \).

Ökar eller minskar befolkningen år \( \, 2\,005 \, \) och i så fall hur mycket per år?

Uppgift 12

Värdet av en produkt minskar enligt

\[ y \, = \, 225\,000 \cdot e\,^{-k\,x} \]

där \( \, y \, \) är värdet i kr, \( \, x \, \) produktens ålder i år och \( \, k \, \) en konstant.

Bestäm k så att värdet är \( \, 100\,000 \, \) kr efter \( \, 5 \, \) år.

Med hur många kr minskar värdet per år då \( \, x = 5 \, \)?

Uppgift 13

Antalet bakterier \( \, N \, \) i en bakteriekultur följer funktionen

\[ N(t) \, = \, \frac{250}{1 + 249 \cdot e\,^{-t}} \]

där \( \, t \, \) är tiden i minuter. Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.

Fundera först om funktionen \( \, N(t) \, \) kan deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss hittills.

Uppgift 14

Bakterier i en liter mjölk växer enligt modellen:

\[ \, y = 10 \cdot 2\,^x \]

där \( \, y \, \) är antal bakterier och \( \, x \, \) är tiden i timmar.

Efter hur många timmar har tillväxthastigheten i mjölken uppnått \( \, 1\,000 \, \) bakterier/timme?

Avrunda svaret till en decimal.

Uppgift 15

Bakterier i mjölk anses växa enligt modellen:

\[ \, y = 10 \cdot e{\,^{0,5\,x}} \]

där \( \, y \, \) är antalet bakterier och \( \, x \, \) tiden i timmar.

a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?

b) Hur många bakterier kommer det att finnas i mjölken efter \( \, 8 \, \) timmar?

c) Efter hur många timmar och minuter blir mjölken sur?

Mjölken anses vara sur när antalet bakterier har uppnått \( \, 1\,250 \).