2.3 Gränsvärde
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Gränsvärde av en funktion
Exempel
| Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) med graf:
Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \) ?
|
\( \qquad \) |  |
Läs så här: \( \; \quad\; \; \; {\rm Limes\;\,av} \; \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \;\, 0 \;{\rm .}\)
Betydelsen: \( \; \quad\; \; {\rm Gränsvärdet\;\,för} \; \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \;\, 0 \;{\rm .}\)
Förkortningen \( {\color{Red} {\lim}} \) står för det latinska ordet \( {\color{Red} {\rm limes}} \) som betyder gräns.
Som grafen visar närmar sig kurvan \(\, x\)-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dvs funktionen går mot \( 0\, \) utan att nå själva värdet \( 0\, \) någon gång. \( f(x)\, \) blir allt mindre ju större \( x \, \) blir. \( \,y \) närmar sig \( 0\, \) när \( x \, \) växer både i positiv och negativ riktning. Men kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln.
Funktionens algebraiska uttryck \( \, y = \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \, \) bekräftar detta: Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \). Därför kan inte heller hela uttrycket någonsin bli \( \, 0 \, \) dvs funktionen har inget nollställe, även om den närmar sig \( \, 0 \, \) allt mer. Denna "paradox" beskrivs matematiskt och löses därmed med hjälp av limes.
Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to - \infty \; \) ?
Grafen visar ett liknande beteende när \( x \, \) går mot "stora" negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \): Även där går \( y\, \) mot \( 0\, \), i matematiska termer: \( \; \displaystyle \lim_{x \to \, {\color{Red} {- \infty}}}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \,\), bara att \( f(x)\, \) nu närmar sig \( \, 0 \, \) nedifrån. Resultatet \( \, y \to 0 \, \) är det samma både när \( x\, \) går mot \( \infty \) och när \( x\, \) går mot \( -\infty \). Därför kan vi sammanfatta:
- \[ \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \]
Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i detta kapitel för att definiera begreppet derivata.
Limes av en funktion kan i princip beräknas genom att sätta in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket. Men ofta ger detta odefinierade uttryck. Man lyckas först efter förenkling av uttrycket, ev. i flera etapper. Vi ska ta upp några exempel.
Beräkning av gränsvärden
Exempel 1
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)
Lösning:
För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat.
Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare för att se om man ev. kan förkorta.
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):
- \[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]
Exempel 2
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)
Lösning:
För att kunna beräkna limes förenklar vi uttrycket i limes:
- \[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]
\( \displaystyle{5 \over x} \) går mot \( 0 \) både när \( x \to +\infty \) och \( x \to -\infty \):
- \[ \lim_{x \to +\infty}\, {5 \over x} \, = \, \lim_{x \to -\infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \]
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
- \[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]
Exempel 3
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)
Lösning:
Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).
För att kunna beräkna limes faktoriserar vi både täljaren och nämnaren för att se om man ev. kan förkorta uttrycket.
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
- \[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]
- \[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
- \[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]
Exempel 4
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)
Lösning:
Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).
För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:
- \[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]
\(p\)-\( q\)-formeln kan användas, men Vieta går snabbare: För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) gäller enligt Vieta:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]
Två tal vars produkt är \( -6 \, \) är \( 3 \, \) och \( -2 \). Även deras summa är \( \, 1 \). Därför:
- \[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]
Täljarens faktorisering blir då:
- \[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
- \[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]
Exempel 5
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)
Lösning:
För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]
För att förenkla sista uttrycket använder vi:
- \[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]
Insatt i det sista uttrycket blir det:
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]
Exempel 6
Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).
Lösning:
- \[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]
- \[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]
- \[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]
Exempel 7
Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).
Lösning:
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer även limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck.
\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.
- \[ f(x+h) \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]
- \[ f(x) \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]
- \[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x \]
Observera att Exempel 6 är ett specialfall av Exempel 7 för \( x = 2 \, \).
Existens av gränsvärden
Inledningsvis bestämdes i detta avsnitt inte bara gränsvärdet \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \, \) utan det sades också att gränsvärdet existerade. Det finns nämligen även fall där gränsvärde saknas. Vi ska nu ta upp ett sådant.
Vi tar samma funktion som i det inledande exemplet, men byter frågeställningen: Vi tittar inte längre på \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, \) utan på \( \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \).
Exempel på "gränsvärde saknas"
| Funktionen \( y = f(x) = \) \( \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) med graf:
Vad händer med funktionen när \( \; x \to 2 \; \) ? |
\( \quad \) |  |
Kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( x = 2\, \), därför att \( {10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( 0\, \) för \( x = 2\, \). Dvs \( f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \). Följaktligen visar grafen i \( x = 2\, \) en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Annars är \( f(x)\, \) kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla \( x \neq 2\, \).
Vi vill nu undersöka hur man kan beskriva \( \,f(x)\):s beteende för \( \, x = 2 \) med hjälp av limes?
Som grafen visar \(-\) och beräkningar med funktionsuttrycket bekräftar \(-\) går \( f(x)\, \) mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:
- \[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad \; {\rm och} \; \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- \]
där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).
Eftersom det finns två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster säger man:
- Gränsvärde saknas.
Funktionen går mot två olika håll när \( \, x \to 2 \). Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma \( \,x \) är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte.
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot \( +\,\infty \), för ett visst \( \, x \) både från höger och vänster, t.ex. \( \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} \) för \( \, x = 0 \), skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är \( +\,\infty \), därför att \( \infty \) inte är något värde. Med andra ord:
Därför är det strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) och \( \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \) saknas. Detta gäller i alla fall enligt en strikt definition av gränsvärdesbegreppet vars intuitiva innebörd återgavs ovan.
Men det finns även andra typer av gränsvärden:
Ensidiga och oegentliga gränsvärden
Skiljer man däremot närmandet från höger till \( \, x = 2 \) från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:
- \[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \]
där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).
Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet \( \, 2 \) på \( \, x\)-axeln: från höger \( x \to 2^+ \) och från vänster \( x \to 2^- \), därav beteckningen ensidig. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man oegentliga gränsvärden. Ett exempel på ett oegentligt gränsvärde är:
där funktionen \( \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} \) (se grafen till höger) går mot \( +\,\infty \) både när \( \, x \to 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och från vänster (\( \, x < 0 \)). Gränsvärdet är alltså entydigt men oändligt och därför oegentligt, till skillnad från \( \displaystyle f(x) = {10 \over x - 2} \) vars gränsvärde varken är entydigt eller ändligt när \( x \to 2 \) och därför inte existerar. Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k. OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) eller \( \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \) existerar. |
 |
b) Bestäm
- \[ \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \]
Lösning:
- \[ \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty \]
- \[ \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty \]
där \( x \to 0^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och \( x \to 0^- \) att närma sig \( \, x = 0 \) från vänster (\( \, x < 0 \)).
Svar: Gränsvärde saknas.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA
https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0
Copyright © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
