2.4 Derivatans definition

<-- Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt -->

Lektion 18 Derivatans definition

Derivatan i en punkt

Exempel Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten (Exempel 3 i förra avsnitt).

Oljans utströmning beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \quad {\rm vars\;graf\;ser\;ut\;så\;här:} \]

där \( \quad\; x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \quad \)

\( \;\;\, \) som ett uttryck i \( \, h > 0 \, \) (något positivt tal).

b) Beräkna oljans momentana utströmningshastighet i punkten \( \, x = 0 \) genom att

\( \;\;\, \) i uttrycket från a) låta \( \, h \, \) gå mot \( \, 0 \).

Lösning:

a) Den allmänna definitionen av genomsnittlig förändringshastighet är:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]

I exemplet Oljetank är \( \,x_1 = 0 \). Då har vi:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \]

För \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) får vi \( \, f\,(h) \, = \, 4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \, \) och \( \, f\,(0) \, = \, 9\,000 \).

Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \):

\[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {{\color{Red} h}\,(4\,h - 380) \over {\color{Red} h}} \,=\, 4\,h - 380 \]

b) Nu låter vi i uttrycket \( 4\,h - 380 \) för den genomsnittliga utströmningshastigheten \( \, h\, \) gå mot \( 0\, \) för att få oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0\, \).

Dvs vi beräknar gränsvärdet:

\[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 \]

\( -\,380\, \) är oljans momentana utströmningshastighet i \( \, x = 0 \, \). Dvs vid denna tidpunkt sjunker oljan med exakt \( 380\, \) liter per minut.

Ett annat ord för den momentana utströmningshastigheten är derivatan. Vi fick den genom att först (a) ställa upp den genomsnittliga förändringshastigheten i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \, \) som ett uttryck i \( \, h \, \) och sedan (b) beräkna uttryckets gränsvärde för \( \, h \to 0 \). Resultatet kan uttryckas så här:

Funktionen \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \; \) derivatan \( \; -\,380 \; \).

Tidigare (Exempel 3 d) hade vi fått \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \), vilket är ett närmevärde för derivatan, som nu visar sig vara ganska bra. Närmevärdet hade blivit ännu precisare om vi hade valt t.ex. intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \) eller \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,001 \) osv. Det exakta värdet \( -\,380 \, \) får man om man i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \) låter \( h \to 0 \).

I exemplet ovan är oljans momentana utströmningshastighet derivatans fysikaliska tolkning.

Men derivatan har även en geometrisk tolkning som är ganska intuitiv:

Från sekanten till tangenten

Vi ställer frågan efter kurvan \( \, y = f\,(x)\):s lutning i en given punkt \( \, x = a \, \), som är identisk med tangentens lutning i denna punkt. Med denna lutning samt punkten \( \, (a,\,f(a)) \, \) kan vi ställa upp tangentens ekvation. Men hur får vi tangentens lutning?

Tangentens lutning får vi genom att först beräkna sekantens lutning och sedan låta sekanten gå över till tangenten.

Derivatan som ett tal

Fil:DerivatDef2 30.jpg

Derivatan som en funktion

Fil:DerivatDef3 30a.jpg

Exemplet ovan visar att derivatan av en andragradsfunktion (parabel) är en linjär funktion (rät linje).

Medan både det fysikaliska Exemplet Oljetank och den geometriska tolkningen Från sekanten till tangenten beräknade derivatan lokalt som ett tal definierar exemplet ovan derivatan som en ny funktion.

Detta resultat fick vi genom att betrakta punkten \( \, a \, \) inte längre som en konstant utan som en variabel \( \, x \). Med andra ord, vi tillämpade den lokala definitionen av derivatan (i en punkt) på varenda punkt \( \, a \, \) på \( \, x\)-axeln. Tänker man sig att alla dessa derivatvärden är tilldelade sina respektive \( \, x\)-värden, bildar denna tilldelning en ny funktion som är den ursprungliga funktionens derivata, fast inte längre som ett tal utan som ett uttryck i \( \, x \).

Allmän definition

Derivatan av funktionen \( \, y = f\,(x) \, \) är \( \, \displaystyle f\,\,{\color{Red} '}\,\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \)

\( {\color{Red} '} \; \) är symbolen för derivatan. \( \;\, f\,{\color{Red} '}(x) \; \) läses så här: "\(f \) prim av \( \, x \, \)" .

Som man ser är uttrycket i limes funktionens genomsnittliga förändringshastighet \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) i intervallet mellan \( \, x \, \) och \( \, h \). Dvs \( \, \displaystyle f\,'(x) \, = \, \lim_{\Delta x \to 0}\,\,{\Delta y \over \Delta x} \).

Exempel Oljetank (utvidgat)

Utströmningen av olja genom ett hål i oljetankens botten beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

a) Ställ upp funktionens genomsnittliga förändringshastighet \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) som ett uttryck i \( \, x \, \) och \( \, h \).

b) Ange derivatan av \( \, f\,(x) \, \) som en ny funktion av \( \, x \, \) genom att i \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, \) låta \( \, h \, \) gå mot \( \, 0 \).

\( \;\;\, \) Rita grafen till derivatans funktion

Lösning:

a) Vi ställer upp de deluttryck som ingår i \( \, \displaystyle{\Delta y \over \Delta x} \, = \, {f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \, \) och förenklar dem:

\[ \begin{array}{lcl} f(x + h) & = & 4\,(x+h)^2 - 380\,(x+h) + 9\,000 = 4\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 380\,x - 380\,h + 9\,000 = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 \\ f(x + h) - f(x) & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - (4\,x^2 - 380\,x + 9\,000) = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - 4\,x^2 + 380\,x - 9\,000 \;\;\, =\\ & = & 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,h \, = \, h\,(8\,x + 4\,h - 380) \\ {f(x + h) - f(x) \over h} & = & {h\,(8\,x + 4\,h - 380) \over h} \, = \, 8\,x + 4\,h - 380 \end{array}\]

b) Nu beräknar vi gränsvärdet:

\[ f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 \]

Vi kan sammanfatta:

Funktionen \( \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \, \) har derivatan \( \; f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \; \).

Grafen till derivatans funktion visas till höger.

Fil:Oljetank derivataa.jpg

I efterhand kan vi nu verifiera det i Exempel Oljetank beräknade värdet av \( f\,(x)\):s derivata i punkten \( \, x = 0 \) genom att sätta in \( \, x = 0 \) i derivatans funktion \( f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \):

\[ f\,'\,(0) \,=\, 8 \cdot 0 - 380 \,=\, 0 - 380 \,=\, -\,380 \]

Vid tiden \( \, x = 0 \, \) sjönk oljan med \( \, 380\, \) liter per minut som var den största utströmningshastigheten när oljan hade mest volym och utövade det största trycket på hålet.

Dessutom får vi för tredje gången en bekräftelse på följande sats:

Derivatan av andragradsfunktioner är linjära.

Det första exemplet på denna sats hade vi sett i kapitlets inledande Aktivitet (Lösning, punkt 6) då vi ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn. Det andra var när vi i detta avsnitt i Derivatan som en funktion såg grafen till derivatan \( \, y\,' = \, 10\,x \, \) av funktionen \( \, y \, = \, 5\,x^2 \, \).