2.6 Lösning 4b

Året \( \,1950 \) motsvarar \( \; x = 50 \; \) i funktionen \( y = f(x) \). Därför:

Tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år \( 1950 \; = \; f\,'(50) \).

Eftersom \( \,1950 \) är i mitten av tabellen och vi har information om Sveriges befolkning både före och efter \( \,1950 \) kan vi välja den centrala differenskvoten för att beräkna derivatan. Att vi väljer den beror på att den har en bättre noggrannhet än de andra två. Som steglängd väljer vi tabellens minsta steg \( 10\, \). I formeln för den centrala differenskvoten \( f\,'(a) \approx \displaystyle {f(a+h) - f(a-h) \over 2\,h} \) sätts in \( \; a = 50 \; \) och \( \; h=10\):

\[ f\,'(50) \approx {f(50 + 10) \, - \, f(50 - 10) \over 2\cdot 10} = {f(60) - f(40) \over 20} \]

\( x = 60 \) motsvarar år \( \,1960 \) och \( x = 40 \) motsvarar \( \,1940 \) i tabellen. Från tabellen läser vi av \( f(60) = 7\,495 \) och \( f(40) = 6\,645 \). Därför:

\[ f\,'(50) \approx {f(60) - f(40) \over 20} = {7\,495 - 6\,645 \over 20} = {850 \over 20} = 42,5 \]

Eftersom befolkningens enhet i tabellen är tusental växer Sveriges befolkning år 1950 med \( 42\,500 \) personer per år.