2.6 Lösning 4a

Året \( \,1900 \) motsvarar \( \; x = 0 \; \) i funktionen \( y = f(x) \). Därför:

Tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år \( 1900 \; = \; f\,'(0) \).

Eftersom \( \,1900 \) är början av tabellen och vi inte har någon information om Sveriges befolkning före \( \,1900 \) måste vi välja framåtdifferenskvoten för att beräkna derivatan. Som steglängd väljer vi tabellens minsta steg \( 10\, \). I formeln för framåtdifferenskvoten \( f\,'(a) \approx \displaystyle {f(a + h) \, - \, f(a) \over h} \) sätts in \( \; a = 0 \; \) och \( \; h=10\):

\[ f\,'(0) \approx {f(0 + 10) \, - \, f(0) \over 10} = {f(10) - f(0) \over 10} \]

\( x = 10 \) motsvarar år \( \,1910 \) i tabellen. Från tabellen läser vi av \( f(10) = 5\,406 \) och \( f(0) = 5\,130 \). Därför:

\[ f\,'(0) \approx {f(10) - f(0) \over 10} = {5\,406 - 5\,130 \over 10} = {276 \over 10} = 27,6 \]

Eftersom befolkningens enhet i tabellen är tusental växer Sveriges befolkning år 1900 med \( 27\,600 \) personer per år.