1.5 Potenslagarna

Teori

Övningar

Definition av potens

Om \( x\, \) är ett positivt heltal kan \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av a:

\[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} \]

Dvs a multiplicerat med sig själv x gånger. T.ex.:

\[ a^2 = a \cdot a \]

\[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]

Ett uttryck av formen \( a^x\, \) kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser:

Potenslagarna ovan gäller även för exponenter \( x\, \) som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen \( a^x\, \) endast för positiva heltal \( x\, \).

Bevis av några potenslagar

Påstående (Produkt av potenser med samma bas):

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:

\[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]

Påstående (Nollte potens):

\[ a^0 \; = \; 1 \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:

\[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]

Påstående (Negativ exponent):

\[ a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:

\[ a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} \]