3.3 Lösning 8b

Vi tar över \( \, f(x) \, \) och dess andraderivata från 8a och bildar tredje derivatan:

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \\ f''(x) & = & 24\,x^2 + 42\,x + 10 \\ f'''(x) & = & 48\,x + 42 \end{array}\]

Andraderivatans nollställen:

\[\begin{array}{rcl} 24\,x^2 + 42\,x + 10 & = & 0 \\ x^2 + \frac{42}{24}\,x + \frac{10}{24} & = & 0 \\ x^2 + 1,75\,x + 0,4167 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & -0,875 \pm \sqrt{0,7656 - 0,4167} \\ x_{1,2} & = & -0,875 \pm 0,5907 \\ x_1 & = & - \\ x_2 & = & - \end{array}\]

Vi Sätter in andraderivatans nollställen i tredjederivatan: \( \, f''(x) \, = \, 24\,x^2 + 42\,x + 10 \)

\( \underline{x_1 = 0} \, \): \( \underline{x_2 = -0,625} \, \): \( \underline{x_3 = -2} \, \):

\( \; \)

\( f''(0) \, = \, 10 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 0 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \) \( f''(-0,625) = 24\cdot(-0,625)^2 + 42\cdot(-0,625) + 10 = -6,9 < 0 \) \( \Longrightarrow \quad x_2 = -0,625 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \) \( f''(-2) = 24\cdot(-2)^2 + 42\cdot(-2) + 10 = 22 > 0 \) \( \Longrightarrow \quad x_3 = -2 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \)

\( f''(0) \neq 0 \; {\rm ,} \; f''(-0,625) \neq 0 \; {\rm ,} \; f''(-2) \neq 0 \; \Longrightarrow \; f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \)

Maximi- och minimipunkternas koordinater:

\( f(x) \, = \, 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \)

\( f(0) \, = \, 1 \; \Longrightarrow \quad (0, 1) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \)

\( f(-0,625) \, = \, 2\cdot(-0,625)^4 + 7\cdot(-0,625)^3 + 5\cdot(-0,625)^2 + 1 = 1,549 \)

\[ \Longrightarrow \quad\; (-0,625; 1,549) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]

\( f(-2) \, = \, 2\cdot(-2)^4 + 7\cdot(-2)^3 + 5\cdot(-2)^2 + 1 = -3 \)

\[ \Longrightarrow \quad\; (-2, -3) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]