3.3 Lösning 8b
Vi tar över \( \, f(x) \, \) och dess andraderivata från 8a och bildar tredje derivatan:
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \\ f''(x) & = & 24\,x^2 + 42\,x + 10 \\ f'''(x) & = & 48\,x + 42 \end{array}\]
Andraderivatans nollställen:
\[\begin{array}{rcl} 24\,x^2 + 42\,x + 10 & = & 0 \\ x^2 + \frac{42}{24}\,x + \frac{10}{24} & = & 0 \\ x^2 + 1,75\,x + 0,4167 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & -0,875 \pm \sqrt{0,7656 - 0,4167} \\ x_{1,2} & = & -0,875 \pm 0,5907 \\ x_1 & = & - 0,284 \\ x_2 & = & - 1,466 \end{array}\]
Vi Sätter in andraderivatans nollställen i tredjederivatan \( \, f'''(x) \, = \, 48\,x + 42 \)
| \( \underline{x_1 = -0,284} \, \):
\( \underline{x_2 = -1,466} \, \):
|
\( \; \) |
\( f'''(-0,284) \, = \, 48\cdot(-0,284) + 42 = 28,4 \neq 0 \) \( \Longrightarrow \quad x_1 = -0,284 \quad {\rm inflexionspunkt.} \) \( f'''(-1,466) = 48\cdot(-1,466) + 42 = -28,4 \neq 0 \) \( \Longrightarrow \quad x_2 = -1,466 \quad {\rm inflexionspunkt.} \) |
Inflexionspunkternas koordinater:
\( f(x) \, = \, 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \)
\( f(0) \, = \, 1 \; \Longrightarrow \quad (0, 1) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \)
\( f(-0,625) \, = \, 2\cdot(-0,625)^4 + 7\cdot(-0,625)^3 + 5\cdot(-0,625)^2 + 1 = 1,549 \)
- \[ \Longrightarrow \quad\; (-0,625; 1,549) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
\( f(-2) \, = \, 2\cdot(-2)^4 + 7\cdot(-2)^3 + 5\cdot(-2)^2 + 1 = -3 \)
- \[ \Longrightarrow \quad\; (-2, -3) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
